ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени \(n\) функции \(f(x) = x^n\), если:

1) \(f(-4) > f(-2)\);

2) \(f(-4) < f(2)\);

3) \(f(-4) < f(-2)\);

4) \(f(4) > f(2)\);

5) \(f(-4) > f(2)\);

6) \(f(4) > f(-2)\)?

Четным или нечетным натуральным числом является показатель степени \(n\) функции \(f(x) = x^n\), если:
1) \(f(-4) > f(-2)\);
\(-4 < -2\);
\(|-4| > |-2|\);
Ответ: четным.
2) \(f(-4) < f(2)\);
\(-4 < 2\);
\(|-4| > |2|\);
Ответ: нечетным.
3) \(f(-4) < f(-2)\);
\(-4 < -2\);
\(|-4| > |-2|\);
Ответ: нечетным.
4) \(f(4) > f(2)\);
\(4 > 2\);
\(|4| > |2|\);
Ответ: установить невозможно.
5) \(f(-4) > f(2)\);
\(-4 < 2\);
\(|-4| > |2|\);
Ответ: четным.
6) \(f(4) > f(-2)\);
\(4 > -2\);
\(|4| > |-2|\);
Ответ: установить невозможно.

1) Дана функция \(f(x) = x^n\). Условие: \(f(-4) > f(-2)\). Также дано, что \(-4 < -2\) и \(|-4| > |-2|\) (\(4 > 2\)).
Рассмотрим случай, когда \(n\) — четное натуральное число. Для четной степени \(n\), функция \(f(x) = x^n\) является четной функцией, то есть \(f(-x) = f(x)\). На интервале отрицательных чисел, чем больше абсолютное значение аргумента, тем больше значение функции. В данном случае \(-4\) и \(-2\) отрицательны, и \(|-4| > |-2|\). Следовательно, \(f(-4) > f(-2)\). Например, если \(n=2\), то \(f(-4) = (-4)^2 = 16\) и \(f(-2) = (-2)^2 = 4\). Очевидно, \(16 > 4\), что соответствует условию.
Рассмотрим случай, когда \(n\) — нечетное натуральное число. Для нечетной степени \(n\), функция \(f(x) = x^n\) является строго возрастающей функцией. Это означает, что если \(x_1 < x_2\), то \(f(x_1) < f(x_2)\). В нашем случае \(-4 < -2\), поэтому для нечетного \(n\) должно быть \(f(-4) < f(-2)\). Это противоречит данному условию \(f(-4) > f(-2)\).
Таким образом, показатель степени \(n\) является четным числом.

2) Дана функция \(f(x) = x^n\). Условие: \(f(-4) < f(2)\). Также дано, что \(-4 < 2\) и \(|-4| > |2|\) (\(4 > 2\)).
Рассмотрим случай, когда \(n\) — нечетное натуральное число. Для нечетной степени \(n\), функция \(f(x) = x^n\) является строго возрастающей функцией. Если \(x_1 < x_2\), то \(f(x_1) < f(x_2)\). В данном случае \(-4 < 2\), и условие \(f(-4) < f(2)\) соответствует свойству возрастающей функции. Например, если \(n=3\), то \(f(-4) = (-4)^3 = -64\) и \(f(2) = 2^3 = 8\). Очевидно, \(-64 < 8\), что соответствует условию.
Рассмотрим случай, когда \(n\) — четное натуральное число. Для четной степени \(n\), функция \(f(x) = x^n\) является четной функцией, то есть \(f(-x) = f(x)\). Тогда \(f(-4) = f(4)\). Исходное условие \(f(-4) < f(2)\) преобразуется в \(f(4) < f(2)\). Однако для положительных значений аргумента \(x\), функция \(f(x) = x^n\) при четном \(n\) возрастает. Поскольку \(4 > 2\), должно быть \(f(4) > f(2)\). Это противоречит условию \(f(4) < f(2)\).
Таким образом, показатель степени \(n\) является нечетным числом.

3) Дана функция \(f(x) = x^n\). Условие: \(f(-4) < f(-2)\). Также дано, что \(-4 < -2\) и \(|-4| > |-2|\) (\(4 > 2\)).
Рассмотрим случай, когда \(n\) — нечетное натуральное число. Для нечетной степени \(n\), функция \(f(x) = x^n\) является строго возрастающей функцией. Если \(x_1 < x_2\), то \(f(x_1) < f(x_2)\). В данном случае \(-4 < -2\), и условие \(f(-4) < f(-2)\) соответствует свойству возрастающей функции. Например, если \(n=3\), то \(f(-4) = (-4)^3 = -64\) и \(f(-2) = (-2)^3 = -8\). Очевидно, \(-64 < -8\), что соответствует условию.
Рассмотрим случай, когда \(n\) — четное натуральное число. Для четной степени \(n\), функция \(f(x) = x^n\) является четной функцией. На интервале отрицательных чисел, чем больше абсолютное значение аргумента, тем больше значение функции. В данном случае \(-4\) и \(-2\) отрицательны, и \(|-4| > |-2|\). Следовательно, \(f(-4) > f(-2)\). Например, если \(n=2\), то \(f(-4) = (-4)^2 = 16\) и \(f(-2) = (-2)^2 = 4\). Очевидно, \(16 > 4\), что противоречит данному условию \(f(-4) < f(-2)\).
Таким образом, показатель степени \(n\) является нечетным числом.

4) Дана функция \(f(x) = x^n\). Условие: \(f(4) > f(2)\). Также дано, что \(4 > 2\) и \(|4| > |2|\).
Рассмотрим случай, когда \(n\) — четное натуральное число. Для четной степени \(n\), функция \(f(x) = x^n\) на интервале положительных чисел является возрастающей. Поскольку \(4 > 2\), то \(f(4) > f(2)\). Например, если \(n=2\), то \(f(4) = 4^2 = 16\) и \(f(2) = 2^2 = 4\). Очевидно, \(16 > 4\), что соответствует условию.
Рассмотрим случай, когда \(n\) — нечетное натуральное число. Для нечетной степени \(n\), функция \(f(x) = x^n\) на всей области определения является строго возрастающей. Поскольку \(4 > 2\), то \(f(4) > f(2)\). Например, если \(n=3\), то \(f(4) = 4^3 = 64\) и \(f(2) = 2^3 = 8\). Очевидно, \(64 > 8\), что соответствует условию.
Поскольку условие \(f(4) > f(2)\) выполняется как для четных, так и для нечетных натуральных показателей степени \(n\), невозможно однозначно определить, является ли \(n\) четным или нечетным.

5) Дана функция \(f(x) = x^n\). Условие: \(f(-4) > f(2)\). Также дано, что \(-4 < 2\) и \(|-4| > |2|\) (\(4 > 2\)).
Рассмотрим случай, когда \(n\) — четное натуральное число. Для четной степени \(n\), функция \(f(x) = x^n\) является четной функцией, то есть \(f(-x) = f(x)\). Тогда \(f(-4) = f(4)\). Исходное условие \(f(-4) > f(2)\) преобразуется в \(f(4) > f(2)\). Для положительных значений аргумента \(x\), функция \(f(x) = x^n\) при четном \(n\) возрастает. Поскольку \(4 > 2\), то \(f(4) > f(2)\). Например, если \(n=2\), то \(f(-4) = (-4)^2 = 16\) и \(f(2) = 2^2 = 4\). Очевидно, \(16 > 4\), что соответствует условию.
Рассмотрим случай, когда \(n\) — нечетное натуральное число. Для нечетной степени \(n\), функция \(f(x) = x^n\) является строго возрастающей функцией. Если \(x_1 < x_2\), то \(f(x_1) < f(x_2)\). В данном случае \(-4 < 2\), поэтому для нечетного \(n\) должно быть \(f(-4) < f(2)\). Это противоречит данному условию \(f(-4) > f(2)\).
Таким образом, показатель степени \(n\) является четным числом.

6) Дана функция \(f(x) = x^n\). Условие: \(f(4) > f(-2)\). Также дано, что \(4 > -2\) и \(|4| > |-2|\) (\(4 > 2\)).
Рассмотрим случай, когда \(n\) — четное натуральное число. Для четной степени \(n\), функция \(f(x) = x^n\) является четной функцией, то есть \(f(-x) = f(x)\). Тогда \(f(-2) = f(2)\). Исходное условие \(f(4) > f(-2)\) преобразуется в \(f(4) > f(2)\). Для положительных значений аргумента \(x\), функция \(f(x) = x^n\) при четном \(n\) возрастает. Поскольку \(4 > 2\), то \(f(4) > f(2)\). Например, если \(n=2\), то \(f(4) = 4^2 = 16\) и \(f(-2) = (-2)^2 = 4\). Очевидно, \(16 > 4\), что соответствует условию.
Рассмотрим случай, когда \(n\) — нечетное натуральное число. Для нечетной степени \(n\), функция \(f(x) = x^n\) является строго возрастающей функцией. Поскольку \(4 > -2\), то \(f(4) > f(-2)\). Например, если \(n=1\), то \(f(4) = 4\) и \(f(-2) = -2\). Очевидно, \(4 > -2\), что соответствует условию. Если \(n=3\), то \(f(4) = 4^3 = 64\) и \(f(-2) = (-2)^3 = -8\). Очевидно, \(64 > -8\), что также соответствует условию.
Поскольку условие \(f(4) > f(-2)\) выполняется как для четных, так и для нечетных натуральных показателей степени \(n\), невозможно однозначно определить, является ли \(n\) четным или нечетным.