ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(x^{11} + x^3 = 2\);

2) \(2x^4 + x^{10} = 3\).

Решить уравнение:
1) \(x^{11} + x^3 = 2\);
Функция \(f(x) = x^{11} + x^3\) возрастает на \(R\);
Существует единственное решение:
\(f(1)=1^{11}+1^3= 1 + 1 = 2\);
Ответ: 1.
2) \(2x^4 + x^{10} = 3\);
Функция \(f(x) = 2x + x^{10}\) возрастает на \([0; +\infty)\);
Существует единственное решение:
\(f(1) = 2 -15 + 110 = 2 +1 = 3\);
Функция является четной:
\(f(-x) = 2(-x)+(-x)^{10} = 2x + x^{10} = f(x)\);
Ответ: — 1; 1.

1) Решить уравнение: \(x^{11} + x^3 = 2\).
Рассмотрим функцию \(f(x) = x^{11} + x^3\).
Найдем производную этой функции: \(f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{11} + x^3) = 11x^{10} + 3x^2\).
Заметим, что для любого действительного числа \(x\), \(x^{10} \ge 0\) и \(x^2 \ge 0\).
Следовательно, \(11x^{10} \ge 0\) и \(3x^2 \ge 0\).
Таким образом, \(f'(x) = 11x^{10} + 3x^2 \ge 0\) для всех \(x \in R\).
Производная равна нулю только при \(x=0\). Для всех остальных значений \(x \neq 0\), \(f'(x) > 0\).
Это означает, что функция \(f(x)\) строго возрастает на всей числовой прямой \(R\).
Поскольку функция строго возрастает, она может принимать каждое свое значение только один раз.
Подставим \(x=1\) в исходное уравнение: \(1^{11} + 1^3 = 1 + 1 = 2\).
Так как \(f(1) = 2\), и функция \(f(x)\) строго возрастает, то \(x=1\) является единственным решением уравнения.
Ответ: 1.

2) Решить уравнение: \(2x^4 + x^{10} = 3\).
Рассмотрим функцию \(f(x) = 2x^4 + x^{10}\).
Проверим четность функции: \(f(-x) = 2(-x)^4 + (-x)^{10} = 2x^4 + x^{10}\).
Поскольку \(f(-x) = f(x)\), функция \(f(x)\) является четной. Это означает, что если \(x_0\) является решением уравнения, то \(-x_0\) также является решением.
Рассмотрим функцию на интервале \([0; +\infty)\).
Найдем производную функции: \(f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^4 + x^{10}) = 8x^3 + 10x^9\).
Для \(x \ge 0\), \(x^3 \ge 0\) и \(x^9 \ge 0\).
Следовательно, \(f'(x) = 8x^3 + 10x^9 \ge 0\) для всех \(x \ge 0\).
Производная равна нулю только при \(x=0\). Для всех \(x > 0\), \(f'(x) > 0\).
Это означает, что функция \(f(x)\) строго возрастает на интервале \([0; +\infty)\).
Подставим \(x=1\) в исходное уравнение: \(2(1)^4 + (1)^{10} = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3\).
Так как \(f(1) = 3\), и функция \(f(x)\) строго возрастает на \([0; +\infty)\), то \(x=1\) является единственным неотрицательным решением.
Поскольку функция \(f(x)\) является четной, если \(x=1\) является решением, то \(x=-1\) также должно быть решением.
Проверим \(x=-1\): \(2(-1)^4 + (-1)^{10} = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3\).
Таким образом, \(x=-1\) также является решением.
Учитывая, что функция строго возрастает на \([0; +\infty)\) и является четной, решениями могут быть только \(x=1\) и \(x=-1\).
Ответ: -1; 1.