ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(4x^3 + x^7 = -5\);

2) \(x^6 + 3x^8 = 4\).

Решить уравнение:
1) \(4x^3 + x^7 = -5\);
Функция \(f(x) = 4x^3 + x^7\) возрастает на \(R\);
Существует единственное решение:
\(f(-1) = 4(-1)^3 + (-1)^7 = -4 — 1 = -5\);
Ответ: -1.
2) \(x^6 + 3x^8 = 4\);
Функция \(f(x) = x^6 + 3x^8\) возрастает на \([0; +\infty)\);
Существует единственное решение:
\(f(1) = 1^6 + 3 \cdot 1^8 = 1 + 3 = 4\);
Функция является четной:
\(f(-x) = (-x)^6 + 3(-x)^8 = x^6 + 3x^8 = f(x)\);
Ответ: -1; 1.

1) Решить уравнение: \(4x^3 + x^7 = -5\).

Первым шагом рассмотрим функцию \(f(x) = 4x^3 + x^7\). Наша задача — найти значения \(x\), при которых \(f(x) = -5\).

Для определения свойств функции, таких как монотонность, найдем ее производную. Производная функции \(f(x)\) по \(x\) вычисляется как \(f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 + x^7)\). Применяя правило дифференцирования степенной функции \((x^n)’ = nx^{n-1}\), получаем:
\(f'(x) = 4 \cdot 3x^{3-1} + 7x^{7-1} = 12x^2 + 7x^6\).

Теперь проанализируем знак производной \(f'(x)\). Заметим, что \(x^2 \ge 0\) для любого действительного \(x\), и \(x^6 \ge 0\) для любого действительного \(x\). Следовательно, \(12x^2 \ge 0\) и \(7x^6 \ge 0\).
Таким образом, \(f'(x) = 12x^2 + 7x^6 \ge 0\) для всех действительных \(x\).
Производная равна нулю, то есть \(f'(x) = 0\), только когда \(12x^2 + 7x^6 = 0\). Это возможно только при \(x=0\).
Поскольку \(f'(x) \ge 0\) на всей числовой прямой \(R\) и равна нулю только в одной точке \(x=0\), функция \(f(x)\) является строго возрастающей на \(R\).

Из того, что функция \(f(x)\) строго возрастает на всей числовой прямой \(R\), следует, что каждое значение из ее области значений она принимает ровно один раз. Поскольку \(f(x)\) является многочленом, ее область значений — это вся числовая прямая \(R\). Следовательно, уравнение \(f(x) = -5\) имеет единственное решение.

Для нахождения этого единственного решения, мы можем попробовать подставить некоторые целые значения \(x\).
Проверим \(x = -1\):
\(f(-1) = 4(-1)^3 + (-1)^7 = 4(-1) + (-1) = -4 — 1 = -5\).
Поскольку \(f(-1) = -5\), то \(x = -1\) является решением уравнения.

Ответ: -1.

2) Решить уравнение: \(x^6 + 3x^8 = 4\).

Первым шагом рассмотрим функцию \(f(x) = x^6 + 3x^8\). Наша задача — найти значения \(x\), при которых \(f(x) = 4\).

Сначала определим четность функции \(f(x)\). Для этого заменим \(x\) на \(-x\):
\(f(-x) = (-x)^6 + 3(-x)^8\).
Поскольку четная степень отрицательного числа равна четной степени положительного числа, \((-x)^6 = x^6\) и \((-x)^8 = x^8\).
Следовательно, \(f(-x) = x^6 + 3x^8\).
Таким образом, \(f(-x) = f(x)\), что означает, что функция \(f(x)\) является четной. График четной функции симметричен относительно оси ординат. Если \(x_0\) является решением уравнения, то \(-x_0\) также будет решением.

Теперь рассмотрим функцию на интервале \([0; +\infty)\). Для определения монотонности функции на этом интервале найдем ее производную \(f'(x)\).
\(f'(x) = \frac{d}{dx}(x^6 + 3x^8)\). Применяя правило дифференцирования степенной функции, получаем:
\(f'(x) = 6x^{6-1} + 3 \cdot 8x^{8-1} = 6x^5 + 24x^7\).

Проанализируем знак производной \(f'(x)\) на интервале \([0; +\infty)\).
Для \(x > 0\), \(x^5 > 0\) и \(x^7 > 0\). Следовательно, \(6x^5 > 0\) и \(24x^7 > 0\).
Таким образом, \(f'(x) = 6x^5 + 24x^7 > 0\) для всех \(x > 0\).
При \(x = 0\), \(f'(0) = 6(0)^5 + 24(0)^7 = 0\).
Поскольку \(f'(x) > 0\) для \(x > 0\) и \(f'(0) = 0\), функция \(f(x)\) является строго возрастающей на интервале \([0; +\infty)\).

Из того, что функция \(f(x)\) строго возрастает на \([0; +\infty)\), следует, что на этом интервале она принимает каждое значение из своей области значений не более одного раза.

Для нахождения решения на интервале \([0; +\infty)\), мы можем попробовать подставить некоторые целые значения \(x\).
Проверим \(x = 1\):
\(f(1) = (1)^6 + 3(1)^8 = 1 + 3(1) = 1 + 3 = 4\).
Поскольку \(f(1) = 4\), то \(x = 1\) является решением уравнения на интервале \([0; +\infty)\).

Так как функция \(f(x)\) является четной, и мы нашли решение \(x = 1\), то симметричное ему значение \(-1\) также должно быть решением.
Проверим \(x = -1\):
\(f(-1) = (-1)^6 + 3(-1)^8 = 1 + 3(1) = 1 + 3 = 4\).
Таким образом, \(x = -1\) также является решением.

Ответ: -1; 1.