ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^8\) на промежутке \([-1; a]\).

Найти наибольшее и наименьшее значения функции: \(f(x) = x^8\) на промежутке \([-1; a]\);
1) Данная функция:
— Имеет четный показатель степени;
— Имеет вершину в точке с абсциссой \(x_0 = 0\);
— Возрастает на \([0; +\infty)\) и убывает на \((-\infty; 0]\);
2) Если \(-1 < a \le 0\), тогда: \(\min_{[-1; a]} f(x) = f(a) = a^8\);
\(\max_{[-1; a]} f(x) = f(-1) = 1\);
3) Если \(0 < a \le 1\), тогда: \(\min_{[-1; a]} f(x) = f(0) = 0\);
\(\max_{[-1; a]} f(x) = f(-1) = 1\);
4) Если \(a > 1\), тогда: \(\min_{[-1; a]} f(x) = f(0) = 0\);
\(\max_{[-1; a]} f(x) = f(a) = a^8\);

Найти наибольшее и наименьшее значения функции: \(f(x) = x^8\) на промежутке \([-1; a]\);

1) Данная функция:
— Имеет четный показатель степени;
— Имеет вершину в точке с абсциссой \(x_0 = 0\);
— Возрастает на \([0; +\infty)\) и убывает на \((-\infty; 0]\);

2) Если \(-1 < a \le 0\), тогда:
На промежутке \([-1; a]\) функция \(f(x) = x^8\) является убывающей, так как весь промежуток лежит в области \((-\infty; 0]\), где функция убывает.
Наименьшее значение будет достигаться в правой точке интервала, то есть при \(x = a\).
\(\min_{[-1; a]} f(x) = f(a) = a^8\);
Наибольшее значение будет достигаться в левой точке интервала, то есть при \(x = -1\).
\(\max_{[-1; a]} f(x) = f(-1) = (-1)^8 = 1\);

3) Если \(0 < a \le 1\), тогда:
На промежутке \([-1; a]\) содержится точка \(x=0\), в которой функция \(f(x) = x^8\) достигает своего глобального минимума, так как \(x^8 \ge 0\) для всех \(x\), и \(x^8 = 0\) только при \(x=0\).
Наименьшее значение будет достигаться при \(x = 0\).
\(\min_{[-1; a]} f(x) = f(0) = 0^8 = 0\);
Для нахождения наибольшего значения необходимо сравнить значения функции на концах интервала: \(f(-1)\) и \(f(a)\).
\(f(-1) = (-1)^8 = 1\).
\(f(a) = a^8\).
Поскольку \(0 < a \le 1\), то \(0 < a^8 \le 1\). Следовательно, \(f(-1) = 1\) будет наибольшим значением.
\(\max_{[-1; a]} f(x) = f(-1) = 1\);

4) Если \(a > 1\), тогда:
На промежутке \([-1; a]\) содержится точка \(x=0\), в которой функция \(f(x) = x^8\) достигает своего глобального минимума.
Наименьшее значение будет достигаться при \(x = 0\).
\(\min_{[-1; a]} f(x) = f(0) = 0^8 = 0\);
Для нахождения наибольшего значения необходимо сравнить значения функции на концах интервала: \(f(-1)\) и \(f(a)\).
\(f(-1) = (-1)^8 = 1\).
\(f(a) = a^8\).
Поскольку \(a > 1\), то \(a^8 > 1\). Следовательно, \(f(a) = a^8\) будет наибольшим значением.
\(\max_{[-1; a]} f(x) = f(a) = a^8\);