ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^6\) на промежутке \([a; 2]\).

Найти наибольшее и наименьшее значения функции: \(f(x) = x^6\) на промежутке \([a; 2]\);

1) Данная функция:
— Имеет четный показатель степени;
— Имеет вершину в точке с абсциссой \(x_0 = 0\);
— Возрастает на \([0; +\infty)\) и убывает на \((-\infty; 0]\);

2) Если \(a < -2\), тогда:
\(\min_{[a; 2]} f(x) = f(0) = 0\);
\(\max_{[a; 2]} f(x) = f(a) = a^6\);

3) Если \(-2 \le a \le 0\), тогда:
\(\min_{[a; 2]} f(x) = f(0) = 0\);
\(\max_{[a; 2]} f(x) = f(2) = 64\);

4) Если \(0 < a < 2\), тогда:
\(\min_{[a; 2]} f(x) = f(a) = a^6\);
\(\max_{[a; 2]} f(x) = f(2) = 64\);

Найти наибольшее и наименьшее значения функции: \(f(x) = x^6\) на промежутке \([a; 2]\);

1) Для начала, рассмотрим основные свойства заданной функции \(f(x) = x^6\). Эта функция является степенной функцией с четным показателем степени, что означает, что ее график симметричен относительно оси ординат. Поскольку показатель степени равен 6, \(f(x)\) всегда будет неотрицательна, то есть \(f(x) \ge 0\) для всех действительных значений \(x\). Единственная точка, где функция принимает значение ноль, это \(x = 0\), так как \(f(0) = 0^6 = 0\). Следовательно, точка \((0, 0)\) является глобальным минимумом функции. Поведение функции следующее: на интервале \((-\infty; 0]\) функция убывает, поскольку при увеличении \(x\) от отрицательных значений к нулю, значения \(x^6\) уменьшаются. Например, \((-2)^6 = 64\), а \((-1)^6 = 1\). На интервале \([0; +\infty)\) функция возрастает, так как при увеличении \(x\) от нуля к положительным значениям, значения \(x^6\) увеличиваются. Например, \(1^6 = 1\), а \(2^6 = 64\). Таким образом, функция достигает своего наименьшего значения, равного нулю, при \(x=0\).

2) Рассмотрим случай, когда значение параметра \(a\) меньше \(-2\), то есть \(a < -2\). В этом случае заданный промежуток \([a; 2]\) охватывает точку \(x = 0\). Поскольку \(x=0\) является точкой глобального минимума функции \(f(x) = x^6\), и эта точка находится внутри или на границе интервала \([a; 2]\), наименьшее значение функции на данном промежутке будет достигаться именно в этой точке. Следовательно, \(\min_{[a; 2]} f(x) = f(0) = 0^6 = 0\). Для определения наибольшего значения на этом промежутке, нам необходимо сравнить значения функции на его концах: \(f(a)\) и \(f(2)\). Так как функция \(f(x) = x^6\) симметрична относительно оси \(y\), и возрастает по модулю при удалении от нуля, наибольшее значение будет достигаться на том конце интервала, который находится дальше от нуля. В данном случае, поскольку \(a < -2\), абсолютное значение \(|a|\) будет больше, чем абсолютное значение \(|2|\) (например, если \(a = -3\), то \(|-3| = 3\), а \(|2| = 2\)). Это означает, что точка \(a\) находится дальше от нуля, чем точка \(2\). Таким образом, \(f(a)\) будет больше, чем \(f(2)\). Следовательно, \(\max_{[a; 2]} f(x) = f(a) = a^6\).

3) Перейдем к анализу ситуации, когда параметр \(a\) находится в диапазоне от \(-2\) до \(0\) включительно, то есть \(-2 \le a \le 0\). В этом сценарии промежуток \([a; 2]\) также содержит точку \(x = 0\). Как уже было объяснено, \(x=0\) является точкой глобального минимума функции \(f(x) = x^6\). Поскольку \(0\) входит в интервал \([a; 2]\), наименьшее значение функции на этом промежутке будет равно \(f(0)\). Таким образом, \(\min_{[a; 2]} f(x) = f(0) = 0^6 = 0\). Для определения наибольшего значения, снова сравниваем значения функции на концах интервала: \(f(a)\) и \(f(2)\). В этом случае, так как \(-2 \le a \le 0\), абсолютное значение \(|a|\) будет меньше или равно абсолютного значения \(|2|\) (например, если \(a = -1\), то \(|-1| = 1\), а \(|2| = 2\)). Это означает, что точка \(2\) находится дальше от нуля или на таком же расстоянии, как и точка \(a\). Поскольку функция \(f(x) = x^6\) возрастает по мере удаления от нуля, значение \(f(2)\) будет либо больше, либо равно \(f(a)\). Например, если \(a = -2\), то \(f(-2) = (-2)^6 = 64\), и \(f(2) = 2^6 = 64\). Если \(a = -1\), то \(f(-1) = (-1)^6 = 1\), а \(f(2) = 64\). В любом случае, \(f(2)\) будет наибольшим значением. Следовательно, \(\max_{[a; 2]} f(x) = f(2) = 2^6 = 64\).

4) Наконец, рассмотрим случай, когда параметр \(a\) находится между \(0\) и \(2\), не включая \(2\), то есть \(0 < a < 2\). В этой ситуации заданный промежуток \([a; 2]\) полностью расположен на положительной части оси \(x\). Это означает, что весь интервал находится в области, где функция \(f(x) = x^6\) строго возрастает. Поскольку функция монотонно возрастает на интервале \([a; 2]\), ее наименьшее значение будет достигаться на левом конце этого интервала, а наибольшее значение — на правом конце. Таким образом, наименьшее значение функции на промежутке \([a; 2]\) будет равно значению функции в точке \(a\). Следовательно, \(\min_{[a; 2]} f(x) = f(a) = a^6\). Аналогично, наибольшее значение функции на этом промежутке будет равно значению функции в точке \(2\). Следовательно, \(\max_{[a; 2]} f(x) = f(2) = 2^6 = 64\).