ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \(5x^{17} — 318 = 2\).

Решить уравнение: \(5x^{17} — 3x^8 = 2\);

1) Разделим обе части на \(x^{17}\):
\(5 — \frac{3}{x^9} = \frac{2}{x^{17}}\);
\(\frac{2}{x^{17}} + \frac{3}{x^9} = 5\);

2) Пусть \(t = \frac{1}{x}\), тогда:
\(2t^{17} + 3t^9 = 5\);

3) Функция \(f(t)\) возрастает на \(R\):
\(f(t) = 2t^{17} + 3t^9\);

4) Существует единственное решение:
\(f(1) = 2 \cdot 1^{17} + 3 \cdot 1^9 = 2 + 3 = 5\);
\(t = \frac{1}{x} = 1\);
\(x = 1\);

Ответ: 1.

Решить уравнение: \(5x^{17} — 3x^8 = 2\);

1) Разделим обе части на \(x^{17}\).
Исходное уравнение: \(5x^{17} — 3x^8 = 2\).
Разделим каждое слагаемое на \(x^{17}\):
\(\frac{5x^{17}}{x^{17}} — \frac{3x^8}{x^{17}} = \frac{2}{x^{17}}\).
Применяя правила степеней, получаем:
\(5 — 3x^{8-17} = 2x^{-17}\).
Это упрощается до:
\(5 — 3x^{-9} = 2x^{-17}\).
Перепишем отрицательные степени как дроби:
\(5 — \frac{3}{x^9} = \frac{2}{x^{17}}\).
Перенесем слагаемые с \(x\) в левую часть и константу в правую, чтобы соответствовать примеру:
\(\frac{2}{x^{17}} + \frac{3}{x^9} = 5\).

2) Пусть \(t = \frac{1}{x}\), тогда:
Если \(t = \frac{1}{x}\), то \(\frac{1}{x^9} = \left(\frac{1}{x}\right)^9 = t^9\) и \(\frac{1}{x^{17}} = \left(\frac{1}{x}\right)^{17} = t^{17}\).
Подставим это в уравнение, полученное на шаге 1:
\(2 \cdot \frac{1}{x^{17}} + 3 \cdot \frac{1}{x^9} = 5\).
Получаем:
\(2t^{17} + 3t^9 = 5\).

3) Функция \(f(t)\) возрастает на \(R\):
Рассмотрим функцию \(f(t) = 2t^{17} + 3t^9\).
Для определения монотонности функции найдем ее производную \(f'(t)\):
\(f'(t) = \frac{d}{dt}(2t^{17} + 3t^9) = 2 \cdot 17t^{16} + 3 \cdot 9t^8 = 34t^{16} + 27t^8\).
Заметим, что \(t^{16} = (t^8)^2 \ge 0\) для любого действительного \(t\), и \(t^8 \ge 0\) для любого действительного \(t\).
Следовательно, \(34t^{16} \ge 0\) и \(27t^8 \ge 0\).
Таким образом, \(f'(t) = 34t^{16} + 27t^8 \ge 0\) для всех \(t \in R\).
Производная равна нулю только при \(t=0\). В остальных случаях \(f'(t) > 0\).
Это означает, что функция \(f(t)\) является строго возрастающей на всей числовой прямой \(R\).
Строго возрастающая функция принимает каждое свое значение не более одного раза, что гарантирует единственность решения уравнения \(f(t) = 5\).

4) Существует единственное решение:
Нам нужно найти такое значение \(t\), при котором \(f(t) = 5\).
Подставим \(t=1\) в функцию \(f(t)\):
\(f(1) = 2 \cdot (1)^{17} + 3 \cdot (1)^9\).
Вычислим значение:
\(f(1) = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5\).
Поскольку \(f(1) = 5\), и функция \(f(t)\) является строго возрастающей, \(t=1\) является единственным решением уравнения \(2t^{17} + 3t^9 = 5\).
Теперь вернемся к исходной переменной \(x\), используя замену \(t = \frac{1}{x}\):
\(1 = \frac{1}{x}\).
Из этого следует, что:
\(x = 1\).

Ответ: 1.