ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \(11x^{15} + 2x^4 = -9\).

Решить уравнение: \(11x^{15} + 2x^4 = -9\);

1) Разделим обе части на \(x^{15}\):
\(11 + \frac{2}{x^{11}} = -\frac{9}{x^{15}}\);
\( \frac{9}{x^{15}} + \frac{2}{x^{11}} = -11 \);

2) Пусть \(t = \frac{1}{x}\), тогда:
\(9t^{15} + 2t^{11} = -11\);

3) Функция \(f(t)\) возрастает на \(R\):
\(f(t) = 9t^{15} + 2t^{11}\);

4) Существует единственное решение:
\(f(-1) = 9(-1)^{15} + 2(-1)^{11} = -9 — 2 = -11\);
\(t = \frac{1}{x} = -1\);
\(x = -1\);

Ответ: \(-1\).

Решить уравнение: \(11x^{15} + 2x^4 = -9\);

1) Разделим обе части уравнения на \(x^{15}\). Это допустимо, так как если \(x = 0\), то \(11(0)^{15} + 2(0)^4 = 0 \neq -9\), следовательно, \(x \neq 0\).
При делении получаем:
\(\frac{11x^{15}}{x^{15}} + \frac{2x^4}{x^{15}} = \frac{-9}{x^{15}}\)
Упрощаем степени:
\(11 + 2x^{4-15} = -9x^{-15}\)
\(11 + 2x^{-11} = -9x^{-15}\)
Перепишем члены с отрицательными степенями в виде дробей:
\(11 + \frac{2}{x^{11}} = -\frac{9}{x^{15}}\)
Перенесем все члены в левую часть и приравняем к \(-11\), как показано в примере:
\(\frac{9}{x^{15}} + \frac{2}{x^{11}} = -11\)

2) Введем замену переменной. Пусть \(t = \frac{1}{x}\).
Тогда \(\frac{1}{x^{15}} = \left(\frac{1}{x}\right)^{15} = t^{15}\) и \(\frac{1}{x^{11}} = \left(\frac{1}{x}\right)^{11} = t^{11}\).
Подставим эти выражения в уравнение, полученное в шаге 1:
\(9t^{15} + 2t^{11} = -11\)

3) Рассмотрим функцию \(f(t) = 9t^{15} + 2t^{11}\). Для определения ее свойств, найдем производную \(f'(t)\):
\(f'(t) = \frac{d}{dt}(9t^{15} + 2t^{11}) = 9 \cdot 15t^{14} + 2 \cdot 11t^{10}\)
\(f'(t) = 135t^{14} + 22t^{10}\)
Вынесем общий множитель \(t^{10}\):
\(f'(t) = t^{10}(135t^4 + 22)\)
Для любого действительного числа \(t\), \(t^{10}\) всегда неотрицательно (\(t^{10} \ge 0\)).
Также, \(t^4\) всегда неотрицательно, поэтому \(135t^4 \ge 0\). Следовательно, \(135t^4 + 22\) всегда положительно (\(135t^4 + 22 > 0\)).
Произведение \(t^{10}(135t^4 + 22)\) будет неотрицательным для всех \(t \in R\). Более того, \(f'(t) = 0\) только при \(t=0\). Для всех остальных значений \(t \neq 0\), \(f'(t) > 0\). Это означает, что функция \(f(t)\) является строго возрастающей на всей числовой прямой \(R\). Строго возрастающая функция может принимать каждое свое значение только один раз, что гарантирует единственность решения уравнения \(f(t) = -11\).

4) Найдем единственное решение уравнения \(f(t) = -11\).
Мы ищем такое значение \(t\), при котором \(9t^{15} + 2t^{11} = -11\).
Путем подбора или интуиции, попробуем подставить \(t = -1\):
\(f(-1) = 9(-1)^{15} + 2(-1)^{11}\)
Так как нечетная степень отрицательного числа остается отрицательной, \((-1)^{15} = -1\) и \((-1)^{11} = -1\).
\(f(-1) = 9(-1) + 2(-1) = -9 — 2 = -11\)
Таким образом, \(t = -1\) является решением уравнения \(f(t) = -11\). В силу того, что функция \(f(t)\) строго возрастает, это решение единственно.

Теперь вернемся к исходной переменной \(x\), используя замену \(t = \frac{1}{x}\):
\(\frac{1}{x} = -1\)
Умножим обе части на \(x\):
\(1 = -x\)
Разделим обе части на \(-1\):
\(x = -1\)

Ответ: \(-1\).