ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \((x + y)^2 + (x — 3)^2 = 0\);

2) \((x + 2y — 3)^2 + x^2 — 4xy + 4y^2 = 0\);

3) \(|x — 3y — 6| + (9x + 6y — 32)^2 = 0\);

4) \(x^2 + y^2 + 10x — 12y + 61 = 0\);

5) \(25x^2 + 10y^2 — 30xy + 8y + 16 = 0\).

1) \((x + y)^2 + (x — 3)^2 = 0\);
Первое уравнение:
\(x+y = 0\);
\(y = — x\);
Второе уравнение:
\(x-3=0\);
\(x =3\);
\(y =- 3\);
Ответ: \((3; — 3)\).

2) \((x+2y -3)^2 + x^2 -4xy + 4y^2 = 0\);
\((x+2y -3)^2 + (x-2y)^2 = 0\);
Первое уравнение:
\(x+2y-3=0\);
\(x=3-2y\);
Второе уравнение:
\(x-2y=0\);
\(3-2y-2y = 0\);
\(4y = 3\);
\(y=\frac{3}{4}\);
\(x=3-2 \cdot \frac{3}{4} = 3-\frac{3}{2} = \frac{6-3}{2} = \frac{3}{2}\);
Ответ: \((\frac{3}{2}; \frac{3}{4})\).

3) \(|x-3y — 6| + (9x + 6y — 32)^2 = 0\);
Первое уравнение:
\(x-3y-6=0\);
\(x =3y+6\);
Второе уравнение:
\(9x + 6y — 32 = 0\);
\(9(3y +6) +6y — 32 = 0\);
\(27y + 54 + 6y — 32 = 0\);
\(33y = — 22\);
\(y = -\frac{22}{33} = -\frac{2}{3}\);
\(x = 3 (-\frac{2}{3}) + 6 = -2 + 6 = 4\);
Ответ: \((4; -\frac{2}{3})\).

4) \(x^2 +y^2 +10x-12y+61=0\);
\((x^2 +10x+25) +(y^2-12y+36) = 0\);
\((x+5)^2+ (y-6)^2 = 0\);
Первое уравнение:
\(x+5= 0\);
\(x =- 5\);
Второе уравнение:
\(y -6 = 0\);
\(y = 6\);
Ответ: \((-5; 6)\).

5) \(25x^2 + 10y^2 -30xy +8y +16 = 0\);
\((25x^2-30xy + 9y^2) + (y^2 + 8y + 16) = 0\);
\((5x -3y)^2 + (y + 4)^2 = 0\);
Первое уравнение:
\(5x — 3y = 0\);
\(5x = 3y\);
\(x = 0,6y\);
Второе уравнение:
\(y+4 = 0\);
\(y = — 4\);
\(x = 0,6 \cdot (-4) = — 2,4\);
Ответ: \((-2,4; — 4)\).

1) \((x + y)^2 + (x — 3)^2 = 0\)
Поскольку сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, каждое из них должно быть равно нулю.
Первое уравнение:
\(x+y = 0\)
Из этого уравнения выражаем \(y\):
\(y = -x\)
Второе уравнение:
\(x-3=0\)
Из этого уравнения находим \(x\):
\(x = 3\)
Теперь подставляем найденное значение \(x\) в выражение для \(y\):
\(y = -(3)\)
\(y = -3\)
Ответ: \((3; -3)\)

2) \((x+2y -3)^2 + x^2 -4xy + 4y^2 = 0\)
Замечаем, что выражение \(x^2 -4xy + 4y^2\) является полным квадратом: \((x-2y)^2\).
Таким образом, исходное уравнение преобразуется в:
\((x+2y -3)^2 + (x-2y)^2 = 0\)
Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, следовательно, каждое из них должно быть равно нулю.
Первое уравнение:
\(x+2y-3=0\)
Из этого уравнения выражаем \(x\):
\(x=3-2y\)
Второе уравнение:
\(x-2y=0\)
Подставляем выражение для \(x\) из первого уравнения во второе:
\((3-2y)-2y = 0\)
\(3-4y = 0\)
Решаем относительно \(y\):
\(4y = 3\)
\(y = \frac{3}{4}\)
Теперь подставляем найденное значение \(y\) в выражение для \(x\):
\(x = 3-2 \left(\frac{3}{4}\right)\)
\(x = 3-\frac{6}{4}\)
\(x = 3-\frac{3}{2}\)
\(x = \frac{6}{2}-\frac{3}{2}\)
\(x = \frac{3}{2}\)
Ответ: \((\frac{3}{2}; \frac{3}{4})\)

3) \(|x-3y — 6| + (9x + 6y — 32)^2 = 0\)
Сумма модуля (неотрицательного выражения) и квадрата (неотрицательного выражения) равна нулю. Это возможно только если каждое выражение равно нулю.
Первое уравнение:
\(x-3y-6=0\)
Выражаем \(x\):
\(x = 3y+6\)
Второе уравнение:
\(9x + 6y — 32 = 0\)
Подставляем выражение для \(x\) из первого уравнения во второе:
\(9(3y +6) +6y — 32 = 0\)
Раскрываем скобки:
\(27y + 54 + 6y — 32 = 0\)
Приводим подобные члены:
\(33y + 22 = 0\)
Решаем относительно \(y\):
\(33y = -22\)
\(y = -\frac{22}{33}\)
\(y = -\frac{2}{3}\)
Теперь подставляем найденное значение \(y\) в выражение для \(x\):
\(x = 3 \left(-\frac{2}{3}\right) + 6\)
\(x = -2 + 6\)
\(x = 4\)
Ответ: \((4; -\frac{2}{3})\)

4) \(x^2 +y^2 +10x-12y+61=0\)
Перегруппируем члены уравнения, чтобы выделить полные квадраты.
\((x^2 +10x) + (y^2-12y) + 61 = 0\)
Дополняем до полного квадрата для \(x\): к \(x^2 + 10x\) нужно добавить \((\frac{10}{2})^2 = 5^2 = 25\).
Дополняем до полного квадрата для \(y\): к \(y^2 — 12y\) нужно добавить \((\frac{-12}{2})^2 = (-6)^2 = 36\).
Добавляем и вычитаем эти числа, или переносим константу и добавляем их к обеим частям:
\((x^2 +10x+25) +(y^2-12y+36) = -61 + 25 + 36\)
\((x+5)^2 + (y-6)^2 = 0\)
Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, следовательно, каждое из них должно быть равно нулю.
Первое уравнение:
\(x+5=0\)
Из этого уравнения находим \(x\):
\(x = -5\)
Второе уравнение:
\(y-6=0\)
Из этого уравнения находим \(y\):
\(y = 6\)
Ответ: \((-5; 6)\)

5) \(25x^2 + 10y^2 -30xy +8y +16 = 0\)
Перегруппируем члены уравнения, чтобы выделить полные квадраты.
Замечаем, что \(25x^2 — 30xy\) может быть частью квадрата \((5x — Ay)^2\). Если \(A=3\), то \((5x — 3y)^2 = 25x^2 — 30xy + 9y^2\).
У нас есть \(10y^2\), из которых \(9y^2\) используются для первого квадрата. Остается \(10y^2 — 9y^2 = y^2\).
Теперь сгруппируем оставшиеся члены: \(y^2 + 8y + 16\). Это также является полным квадратом: \((y+4)^2\).
Таким образом, исходное уравнение преобразуется в:
\((25x^2-30xy + 9y^2) + (y^2 + 8y + 16) = 0\)
\((5x -3y)^2 + (y + 4)^2 = 0\)
Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, следовательно, каждое из них должно быть равно нулю.
Первое уравнение:
\(5x — 3y = 0\)
Выражаем \(x\) через \(y\):
\(5x = 3y\)
\(x = \frac{3}{5}y\)
\(x = 0,6y\)
Второе уравнение:
\(y+4 = 0\)
Из этого уравнения находим \(y\):
\(y = -4\)
Теперь подставляем найденное значение \(y\) в выражение для \(x\):
\(x = 0,6 \cdot (-4)\)
\(x = -2,4\)
Ответ: \((-2,4; -4)\)