Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Следует ли из равенства \(x_1^n = x_2^n\), что \(x_1 = x_2\), если:
1) \(n\) — чётное;
2) \(n\) — нечётное?
Следует ли из равенства \(x_1^n = x_2^n\), что \(x_1 = x_2\), если:
1) \(n\) — четное;
Функция \(f(x) = x^n\) — четная, значит:
\(f(x_1) = f(x_2)\);
\(|x_1| = |x_2|\);
\(x_1 = \pm x_2\);
Ответ: нет.
2) \(n\) — нечетное;
Функция \(f(x) = x^n\) возрастает, значит:
\(f(x_1) = f(x_2)\);
\(x_1 = x_2\);
Ответ: да.
Следует ли из равенства \(x_1^n = x_2^n\), что \(x_1 = x_2\), если:
1) \(n\) — четное;
Если \(n\) является четным числом, то функция \(f(x) = x^n\) является четной функцией. Это означает, что для любых действительных чисел \(x\), \(f(-x) = f(x)\). Из равенства \(x_1^n = x_2^n\) следует, что значения функции \(f(x)\) в точках \(x_1\) и \(x_2\) равны, то есть \(f(x_1) = f(x_2)\). Поскольку функция \(f(x) = x^n\) четная, это означает, что \(|x_1| = |x_2|\). Из равенства модулей следует, что \(x_1\) может быть равен \(x_2\) или \(x_1\) может быть равен \(-x_2\). Например, если \(n=2\), то из \(x_1^2 = x_2^2\) следует, что \(x_1 = \pm x_2\). Если \(x_1 = 2\), то \(x_1^2 = 4\). Тогда \(x_2^2 = 4\), что дает \(x_2 = 2\) или \(x_2 = -2\). В этом случае \(x_1\) не обязательно равен \(x_2\). Таким образом, из равенства \(x_1^n = x_2^n\) не всегда следует, что \(x_1 = x_2\).
Ответ: нет.
2) \(n\) — нечетное;
Если \(n\) является нечетным числом, то функция \(f(x) = x^n\) является строго монотонной функцией (в данном случае, строго возрастающей). Для строго монотонной функции, если значения функции в двух точках равны, то и сами точки должны быть равны. То есть, если \(f(x_1) = f(x_2)\), то обязательно \(x_1 = x_2\). Из равенства \(x_1^n = x_2^n\) следует, что значения функции \(f(x)\) в точках \(x_1\) и \(x_2\) равны, то есть \(f(x_1) = f(x_2)\). Поскольку функция \(f(x) = x^n\) при нечетном \(n\) является строго возрастающей, это однозначно означает, что \(x_1 = x_2\). Например, если \(n=3\), то из \(x_1^3 = x_2^3\) следует, что \(x_1 = x_2\). Если \(x_1 = 2\), то \(x_1^3 = 8\). Тогда \(x_2^3 = 8\), что дает только \(x_2 = 2\). В этом случае \(x_1\) обязательно равен \(x_2\). Таким образом, из равенства \(x_1^n = x_2^n\) всегда следует, что \(x_1 = x_2\).
Ответ: да.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.