ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Следует ли из неравенства \(x_1^n > x_2^n\), что \(x_1 > x_2\), если:
1) \(n\) — чётное;
2) \(n\) — нечётное?

Следует ли из неравенства \(x_1^n > x_2^n\), что \(x_1 > x_2\), если:
1) \(n\) — четное;
Функция \(f(x) = x^n\) возрастает на \([0; +\infty)\);
Функция является четной, значит:
\(f(x_1) > f(x_2)\);
\(|x_1| > |x_2|\);
\(x_1 < -x_2\), \(x_1 > x_2\);
Ответ: нет.
2) \(n\) — нечетное;
Функция \(f(x) = x^n\) возрастает, значит:
\(f(x_1) > f(x_2)\);
\(x_1 > x_2\);
Ответ: да.

1) \(n\) — четное;

Рассмотрим функцию \(f(x) = x^n\), где \(n\) — четное число. Например, \(f(x) = x^2\) или \(f(x) = x^4\). Эта функция является четной, что означает \(f(-x) = f(x)\) для любого \(x\). График такой функции симметричен относительно оси \(y\). Указано, что функция возрастает на \([0; +\infty)\), что верно. Однако на интервале \((-\infty; 0]\) функция убывает.

Если дано неравенство \(x_1^n > x_2^n\), это эквивалентно \(f(x_1) > f(x_2)\). Поскольку функция \(f(x) = x^n\) для четного \(n\) является четной и возрастает на \([0; +\infty)\), из \(f(x_1) > f(x_2)\) следует, что \(|x_1| > |x_2|\). Это означает, что абсолютное значение \(x_1\) больше абсолютного значения \(x_2\).

Однако из \(|x_1| > |x_2|\) не всегда следует, что \(x_1 > x_2\). Например, если \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 2\), и \(n=2\). Тогда \(x_1^2 = (-3)^2 = 9\) и \(x_2^2 = (2)^2 = 4\). Неравенство \(x_1^2 > x_2^2\) (то есть \(9 > 4\)) выполняется. При этом \(|x_1| = |-3| = 3\) и \(|x_2| = |2| = 2\), так что \(|x_1| > |x_2|\) (то есть \(3 > 2\)) также выполняется. Но при этом \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 2\), и \(x_1 > x_2\) (то есть \(-3 > 2\)) является ложным утверждением, так как \(-3 < 2\). Таким образом, из неравенства \(x_1^n > x_2^n\) для четного \(n\) не следует, что \(x_1 > x_2\).
Ответ: нет.

2) \(n\) — нечетное;

Рассмотрим функцию \(f(x) = x^n\), где \(n\) — нечетное число. Например, \(f(x) = x^3\) или \(f(x) = x^5\). Эта функция является строго возрастающей на всей числовой прямой, то есть на интервале \((-\infty; +\infty)\). Это означает, что для любых двух чисел \(a\) и \(b\), если \(a > b\), то \(f(a) > f(b)\), и наоборот, если \(f(a) > f(b)\), то \(a > b\).

Если дано неравенство \(x_1^n > x_2^n\), это эквивалентно \(f(x_1) > f(x_2)\). Поскольку функция \(f(x) = x^n\) для нечетного \(n\) строго возрастает на всей своей области определения, из условия \(f(x_1) > f(x_2)\) однозначно следует, что \(x_1 > x_2\).

Например, если \(x_1 = 3\) и \(x_2 = 2\), и \(n=3\). Тогда \(x_1^3 = 3^3 = 27\) и \(x_2^3 = 2^3 = 8\). Неравенство \(x_1^3 > x_2^3\) (то есть \(27 > 8\)) выполняется. И \(x_1 = 3\) действительно больше \(x_2 = 2\).
Если \(x_1 = -2\) и \(x_2 = -3\), и \(n=3\). Тогда \(x_1^3 = (-2)^3 = -8\) и \(x_2^3 = (-3)^3 = -27\). Неравенство \(x_1^3 > x_2^3\) (то есть \(-8 > -27\)) выполняется. И \(x_1 = -2\) действительно больше \(x_2 = -3\).

Таким образом, из неравенства \(x_1^n > x_2^n\) для нечетного \(n\) всегда следует, что \(x_1 > x_2\).
Ответ: да.