ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Следует ли из неравенства \(x_1 > x_2\), что \(x_1^n > x_2^n\), если:
1) \(n\) — чётное;
2) \(n\) — нечётное?

Следует ли из неравенства \(x_1 > x_2\), что \(x_1^n > x_2^n\), если:
1) \(n\) — четное;
Функция \(f(x) = x^n\) возрастает на \([0; +\infty)\);
Функция является четной; Если \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -5\), тогда:
\(f(2) < f(5)\); \(f(2) < f(-5)\); \(x_1 > x_2\); \(f(x_1) < f(x_2)\); \(x_1^n < x_2^n\); Ответ: нет. 2) \(n\) - нечетное; Функция \(f(x) = x^n\) возрастает, значит: \(x_1 > x_2\); \(f(x_1) > f(x_2)\); \(x_1^n > x_2^n\); Ответ: да.

1) Рассмотрим случай, когда \(n\) — четное число.
Функция \(f(x) = x^n\) при четном \(n\) обладает следующими свойствами: она возрастает на интервале \([0; +\infty)\) и является четной, что означает \(f(-x) = f(x)\) для любого \(x\).

Нам дано неравенство \(x_1 > x_2\), и мы должны определить, следует ли из него, что \(x_1^n > x_2^n\).
Рассмотрим пример, приведенный в условии: пусть \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -5\). Очевидно, что \(x_1 > x_2\), так как \(2 > -5\).
Теперь вычислим значения \(x_1^n\) и \(x_2^n\). Пусть для примера \(n=2\).
Тогда \(x_1^2 = 2^2 = 4\).
И \(x_2^2 = (-5)^2 = 25\).
В данном случае мы видим, что \(4 < 25\), то есть \(x_1^2 < x_2^2\). Это означает, что из неравенства \(x_1 > x_2\) не всегда следует, что \(x_1^n > x_2^n\), когда \(n\) — четное. В частности, если \(x_2\) отрицательно и его абсолютное значение больше \(x_1\), то \(x_2^n\) может оказаться больше \(x_1^n\).
Таким образом, ответ: нет.

2) Рассмотрим случай, когда \(n\) — нечетное число.
Функция \(f(x) = x^n\) при нечетном \(n\) является строго возрастающей на всей числовой прямой, то есть на интервале \((-\infty; +\infty)\).
Это означает, что если для любых двух чисел \(x_1\) и \(x_2\) выполняется неравенство \(x_1 > x_2\), то из этого свойства возрастающей функции напрямую следует, что \(f(x_1) > f(x_2)\).
Подставляя \(f(x) = x^n\), получаем, что если \(x_1 > x_2\), то \(x_1^n > x_2^n\).
Это утверждение справедливо независимо от знаков \(x_1\) и \(x_2\). Например, если \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -2\), а \(n=3\), то \(1^3 = 1\) и \((-2)^3 = -8\), и \(1 > -8\).
Таким образом, из неравенства \(x_1 > x_2\) всегда следует, что \(x_1^n > x_2^n\), когда \(n\) — нечетное.
Ответ: да.