ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сколько корней в зависимости от значения параметра \(a\) имеет уравнение:
1) \(x^{12} = a — 6\);
2) \(x^{24} = a^2 + 7a — 8\)?

Сколько корней в зависимости от параметра \(a\) имеет уравнение:
1) \(x^{12} = a — 6\);
Сравним с нулем правую часть:
\(a — 6 > 0\);
\(a > 6\);
Ответ: если \(a > 6\), то два корня;
если \(a = 6\), то один корень;
если \(a < 6\), то корней нет. 2) \(x^{24} = a^2 + 7a - 8\); Сравним с нулем правую часть: \(a^2 + 7a - 8 > 0\);
\(D = 7^2 + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 81\), тогда:
\(a_1 = \frac{-7-9}{2} = -8\) и \(a_2 = \frac{-7+9}{2} = 1\);
\((a + 8)(a — 1) > 0\);
\(a < -8\) или \(a > 1\);
Ответ: если \(a < -8\) или \(a > 1\), то два корня;
если \(a = -8\) или \(a = 1\), то один корень;
если \(-8 < a < 1\), то корней нет.

1) Уравнение вида \(x^{2n} = C\), где \(2n\) – четная степень, имеет:
* Два корня, если \(C > 0\).
* Один корень, если \(C = 0\).
* Нет корней, если \(C < 0\). В данном случае уравнение имеет вид \(x^{12} = a - 6\). Здесь \(C = a - 6\). Рассмотрим случаи в зависимости от значения \(a - 6\): Случай 1: \(a - 6 > 0\)
Если \(a — 6 > 0\), то \(a > 6\). В этом случае уравнение \(x^{12} = a — 6\) имеет два действительных корня: \(x = \pm \sqrt[12]{a — 6}\).

Случай 2: \(a — 6 = 0\)
Если \(a — 6 = 0\), то \(a = 6\). В этом случае уравнение \(x^{12} = 0\) имеет один действительный корень: \(x = 0\).

Случай 3: \(a — 6 < 0\) Если \(a - 6 < 0\), то \(a < 6\). В этом случае уравнение \(x^{12} = a - 6\) не имеет действительных корней, так как четная степень действительного числа не может быть отрицательной. Ответ: если \(a > 6\), то два корня;
если \(a = 6\), то один корень;
если \(a < 6\), то корней нет. 2) Уравнение вида \(x^{2n} = C\), где \(2n\) – четная степень, имеет: * Два корня, если \(C > 0\).
* Один корень, если \(C = 0\).
* Нет корней, если \(C < 0\). В данном случае уравнение имеет вид \(x^{24} = a^2 + 7a - 8\). Здесь \(C = a^2 + 7a - 8\). Для определения количества корней необходимо проанализировать знак выражения \(a^2 + 7a - 8\). Найдем корни квадратного уравнения \(a^2 + 7a - 8 = 0\). Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81\). Корни уравнения: \(a_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8\). \(a_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1\). Таким образом, квадратный трехчлен \(a^2 + 7a - 8\) можно разложить на множители как \((a - (-8))(a - 1) = (a + 8)(a - 1)\). Рассмотрим случаи в зависимости от значения выражения \(a^2 + 7a - 8\): Случай 1: \(a^2 + 7a - 8 > 0\)
Если \(a^2 + 7a — 8 > 0\), что эквивалентно \((a + 8)(a — 1) > 0\). Это неравенство выполняется, когда \(a < -8\) или \(a > 1\). В этом случае уравнение \(x^{24} = a^2 + 7a — 8\) имеет два действительных корня: \(x = \pm \sqrt[24]{a^2 + 7a — 8}\).

Случай 2: \(a^2 + 7a — 8 = 0\)
Если \(a^2 + 7a — 8 = 0\), то \(a = -8\) или \(a = 1\). В этом случае уравнение \(x^{24} = 0\) имеет один действительный корень: \(x = 0\).

Случай 3: \(a^2 + 7a — 8 < 0\) Если \(a^2 + 7a - 8 < 0\), что эквивалентно \((a + 8)(a - 1) < 0\). Это неравенство выполняется, когда \(-8 < a < 1\). В этом случае уравнение \(x^{24} = a^2 + 7a - 8\) не имеет действительных корней, так как четная степень действительного числа не может быть отрицательной. Ответ: если \(a < -8\) или \(a > 1\), то два корня;
если \(a = -8\) или \(a = 1\), то один корень;
если \(-8 < a < 1\), то корней нет.