ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 19.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сколько корней в зависимости от значения параметра \(a\) имеет уравнение \(x^8 = 9a — a^3\)?

Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение:
\(x^8 = 9a — a^3\);

Сравним с нулем правую часть:
\(9a — a^3 > 0\);
\(a^3 — 9a < 0\); \(a(a^2 - 9) < 0\); \((a+3)a(a-3) < 0\); \(a < -3, 0 < a < 3\); Ответ: если \(a < -3\) или \(0 < a < 3\), то два корня; если \(a = -3\), \(a = 0\) или \(a = 3\), то один корень; если \(-3 < a < 0\) или \(a > 3\), то корней нет.

Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение:
\(x^8 = 9a — a^3\);

Для определения количества корней уравнения \(x^8 = C\), где \(C = 9a — a^3\), необходимо проанализировать знак правой части выражения.

Если правая часть положительна, то есть \(9a — a^3 > 0\), уравнение \(x^8 = C\) (где \(C > 0\)) имеет два действительных корня: \(x = \pm \sqrt[8]{C}\).
Рассмотрим неравенство \(9a — a^3 > 0\).
Для удобства умножим обе части неравенства на \(-1\) и изменим знак неравенства на противоположный:
\(a^3 — 9a < 0\). Вынесем общий множитель \(a\) за скобки: \(a(a^2 - 9) < 0\). Разложим выражение в скобках как разность квадратов \((a^2 - 9) = (a - 3)(a + 3)\): \(a(a - 3)(a + 3) < 0\). Найдем корни выражения \(a(a - 3)(a + 3)\): это \(a = 0\), \(a = 3\), \(a = -3\). Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Методом интервалов определяем, на каких интервалах произведение отрицательно: При \(a < -3\), например \(a = -4\): \((-4)(-4-3)(-4+3) = (-4)(-7)(-1) = -28 < 0\). Интервал \((-\infty, -3)\) удовлетворяет неравенству. При \(-3 < a < 0\), например \(a = -1\): \((-1)(-1-3)(-1+3) = (-1)(-4)(2) = 8 > 0\). Интервал \((-3, 0)\) не удовлетворяет неравенству.
При \(0 < a < 3\), например \(a = 1\): \((1)(1-3)(1+3) = (1)(-2)(4) = -8 < 0\). Интервал \((0, 3)\) удовлетворяет неравенству. При \(a > 3\), например \(a = 4\): \((4)(4-3)(4+3) = (4)(1)(7) = 28 > 0\). Интервал \((3, \infty)\) не удовлетворяет неравенству.
Таким образом, неравенство \(a^3 — 9a < 0\) выполняется при \(a < -3\) или \(0 < a < 3\). Следовательно, если \(a < -3\) или \(0 < a < 3\), то \(9a - a^3 > 0\), и уравнение имеет два корня.

Если правая часть равна нулю, то есть \(9a — a^3 = 0\), уравнение \(x^8 = 0\) имеет один действительный корень: \(x = 0\).
Рассмотрим уравнение \(9a — a^3 = 0\).
Вынесем общий множитель \(a\):
\(a(9 — a^2) = 0\).
Разложим разность квадратов:
\(a(3 — a)(3 + a) = 0\).
Корни этого уравнения: \(a = 0\), \(a = 3\), \(a = -3\).
Следовательно, если \(a = -3\), \(a = 0\) или \(a = 3\), то \(9a — a^3 = 0\), и уравнение имеет один корень.

Если правая часть отрицательна, то есть \(9a — a^3 < 0\), уравнение \(x^8 = C\) (где \(C < 0\)) не имеет действительных корней, так как четная степень действительного числа не может быть отрицательной. Рассмотрим неравенство \(9a - a^3 < 0\). Это противоположно случаю, когда \(9a - a^3 > 0\). Используя результаты анализа неравенства \(a(a — 3)(a + 3) < 0\), мы знаем, что \(a(a - 3)(a + 3) > 0\) (что эквивалентно \(9a — a^3 < 0\)) при \(-3 < a < 0\) или \(a > 3\).
Следовательно, если \(-3 < a < 0\) или \(a > 3\), то \(9a — a^3 < 0\), и уравнение не имеет корней. Ответ: если \(a < -3\) или \(0 < a < 3\), то два корня; если \(a = -3\), \(a = 0\) или \(a = 3\), то один корень; если \(-3 < a < 0\) или \(a > 3\), то корней нет.