ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На рисунке 2.9 изображён график функции \( y = f(x) \), определённой на множестве \( \mathbb{R} \). Пользуясь графиком, найдите:
1) нули функции;
2) промежутки знакопостоянства функции;
3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
4) значение: \( \min f(x) \), \( \max f(x) \), \( \min f(x) \), \( \max f(x) \), \( \max f(x) \), \( \min f(x) \) на интервалах \( [-2; 1] \), \( (-2; 0) \), \( (-2; 0) \).

1. Нули функции: \( x = -3, -1, 1.5, 4.5 \). Это точки пересечения графика с осью \( x \), где \( f(x) = 0 \).

2. Промежутки знакопостоянства: \( f(x) > 0 \) при \( x \in (-\infty, -3) \cup (-1, 1.5) \cup (4.5, +\infty) \); \( f(x) < 0 \) при \( x \in (-3, -1) \cup (1.5, 4.5) \). Определены по положению графика относительно оси \( x \).

3. Промежутки возрастания: \( x \in [-2, 0] \cup [3.5, +\infty) \); убывания: \( x \in (-\infty, -2] \cup [0, 3.5] \). Определены по направлению графика вверх или вниз.

4. Значения на интервалах:
— На \( [-2, 1] \): \( \min f(x) = -1 \) при \( x = -2 \), \( \max f(x) = 1 \) при \( x = 0 \).
— На \( (-2, 0) \): \( \max f(x) \) близок к 1 при \( x \to 0^- \), \( \min f(x) \) не достигается, так как интервал открыт.

1. Нули функции — это значения \( x \), при которых \( f(x) = 0 \). Согласно графику функции, эти точки определяются как пересечения графика с осью \( x \). Анализируя предоставленные данные, можно установить, что нули функции находятся в точках \( x = -3 \), \( x = -1 \), \( x = 1.5 \) и \( x = 4.5 \). Это означает, что в данных точках значение функции равно нулю, и они являются корнями уравнения \( f(x) = 0 \).

2. Промежутки знакопостоянства функции показывают, где \( f(x) \) принимает положительные или отрицательные значения. На основании графика можно определить, что функция \( f(x) > 0 \) на промежутках \( (-\infty, -3) \cup (-1, 1.5) \cup (4.5, +\infty) \), так как в этих областях график находится выше оси \( x \). Соответственно, \( f(x) < 0 \) на промежутках \( (-3, -1) \cup (1.5, 4.5) \), где график расположен ниже оси \( x \). Эти промежутки определяются сменой знака функции в точках ее нулей.

3. Промежутки возрастания и убывания функции указывают, где график идет вверх или вниз. Функция возрастает на промежутках \( [-2, 0] \cup [3.5, +\infty) \), что означает, что при увеличении \( x \) значение \( f(x) \) также увеличивается. Функция убывает на промежутках \( (-\infty, -2] \cup [0, 3.5] \), где с ростом \( x \) значение \( f(x) \) уменьшается. Эти промежутки определяются на основе анализа поведения графика и точек экстремума.

4. Наибольшие и наименьшие значения функции на заданных интервалах определяются на основе значений \( f(x) \) в критических точках и на границах интервалов. На интервале \( [-2, 1] \) минимальное значение функции равно \( \min f(x) = -1 \), достигаемое при \( x = -2 \), а максимальное значение равно \( \max f(x) = 1 \), достигаемое при \( x = 0 \). На открытом интервале \( (-2, 0) \) максимальное значение функции близко к 1 при \( x \to 0^- \), но не достигается в конечной точке из-за открытости интервала, а минимальное значение также не достигается, так как интервал не включает граничные точки, и функция стремится к значению вблизи \( x = -2 \).