ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что функция является возрастающей:

1) \( y = \sqrt{x — 1} \);

2) \( y = \sqrt{2x + 1} \).

1) Для функции \( y = \sqrt{x — 1} \) область определения: \( x \geq 1 \). Пусть \( x_2 > x_1 \geq 1 \), тогда \( x_2 — 1 > x_1 — 1 \geq 0 \), а значит \( \sqrt{x_2 — 1} > \sqrt{x_1 — 1} \), то есть \( y(x_2) > y(x_1) \). Функция возрастает, так как при увеличении аргумента значение функции увеличивается.

2) Для функции \( y = \sqrt{2x + 1} \) область определения: \( x \geq -\frac{1}{2} \). Пусть \( x_2 > x_1 \geq -\frac{1}{2} \), тогда \( 2x_2 + 1 > 2x_1 + 1 \geq 0 \), а значит \( \sqrt{2x_2 + 1} > \sqrt{2x_1 + 1} \), то есть \( y(x_2) > y(x_1) \). Функция возрастает, так как при увеличении аргумента значение функции увеличивается.

1) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{x — 1} \). Первым шагом определим область определения данной функции. Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, имеем \( x — 1 \geq 0 \), откуда следует, что \( x \geq 1 \). Таким образом, область определения функции: \( x \geq 1 \).

Теперь докажем, что функция является возрастающей на своей области определения. Возьмем две точки \( x_1 \) и \( x_2 \) из области определения такие, что \( x_2 > x_1 \geq 1 \). Тогда, вычтя из обеих частей неравенства единицу, получим \( x_2 — 1 > x_1 — 1 \geq 0 \). Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можем извлечь квадратный корень, сохраняя знак неравенства: \( \sqrt{x_2 — 1} > \sqrt{x_1 — 1} \).

Это означает, что \( y(x_2) > y(x_1) \), то есть при увеличении аргумента значение функции также увеличивается. Следовательно, функция \( y = \sqrt{x — 1} \) является возрастающей на своей области определения \( x \geq 1 \). Что и требовалось доказать.

2) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{2x + 1} \). Для начала определим область определения функции. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому \( 2x + 1 \geq 0 \), откуда \( 2x \geq -1 \), а значит \( x \geq -\frac{1}{2} \). Таким образом, область определения функции: \( x \geq -\frac{1}{2} \).

Докажем, что функция возрастает на своей области определения. Возьмем две точки \( x_1 \) и \( x_2 \) такие, что \( x_2 > x_1 \geq -\frac{1}{2} \). Умножим обе части неравенства на 2: \( 2x_2 > 2x_1 \geq -1 \). Прибавим к обеим частям единицу: \( 2x_2 + 1 > 2x_1 + 1 \geq 0 \). Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можем извлечь квадратный корень, сохраняя знак неравенства: \( \sqrt{2x_2 + 1} > \sqrt{2x_1 + 1} \).

Это означает, что \( y(x_2) > y(x_1) \), то есть при увеличении аргумента значение функции увеличивается. Следовательно, функция \( y = \sqrt{2x + 1} \) является возрастающей на своей области определения \( x \geq -\frac{1}{2} \). Что и требовалось доказать.