ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что функция является возрастающей:

1) \( y = \sqrt{x — 3} + 2 \);

2) \( y = \sqrt{3x — 1} — 1 \).

1) Для функции \( y = \sqrt{x — 3} + 2 \) область определения: \( x \geq 3 \). Пусть \( x_2 > x_1 \geq 3 \), тогда \( x_2 — 3 > x_1 — 3 \geq 0 \), следовательно, \( \sqrt{x_2 — 3} > \sqrt{x_1 — 3} \), и \( y(x_2) = \sqrt{x_2 — 3} + 2 > \sqrt{x_1 — 3} + 2 = y(x_1) \). Функция возрастает, так как при увеличении аргумента значение функции увеличивается.

2) Для функции \( y = \sqrt{3x — 1} — 1 \) область определения: \( 3x — 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq \frac{1}{3} \). Пусть \( x_2 > x_1 \geq \frac{1}{3} \), тогда \( 3x_2 > 3x_1 \geq 1 \), следовательно, \( 3x_2 — 1 > 3x_1 — 1 \geq 0 \), и \( \sqrt{3x_2 — 1} > \sqrt{3x_1 — 1} \), а значит \( y(x_2) = \sqrt{3x_2 — 1} — 1 > \sqrt{3x_1 — 1} — 1 = y(x_1) \). Функция возрастает, так как при увеличении аргумента значение функции увеличивается.

1) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{x — 3} + 2 \). Первым шагом определим область определения функции. Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, имеем \( x — 3 \geq 0 \), что означает \( x \geq 3 \). Таким образом, функция определена на отрезке \( [3, +\infty) \).

Для доказательства того, что функция возрастающая, возьмем две произвольные точки \( x_1 \) и \( x_2 \) из области определения, такие что \( x_2 > x_1 \geq 3 \). Тогда вычтем из обеих частей неравенства число 3: \( x_2 — 3 > x_1 — 3 \geq 0 \). Поскольку обе части неравенства неотрицательны, можем извлечь корень: \( \sqrt{x_2 — 3} > \sqrt{x_1 — 3} \).

Теперь добавим к обеим частям неравенства число 2: \( \sqrt{x_2 — 3} + 2 > \sqrt{x_1 — 3} + 2 \). Это означает, что \( y(x_2) > y(x_1) \). Таким образом, при увеличении аргумента значение функции увеличивается, что и требовалось доказать. Функция \( y = \sqrt{x — 3} + 2 \) является возрастающей на своей области определения.

2) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{3x — 1} — 1 \). Сначала определим область определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 3x — 1 \geq 0 \), откуда \( 3x \geq 1 \), а значит \( x \geq \frac{1}{3} \). Таким образом, функция определена на отрезке \( [\frac{1}{3}, +\infty) \).

Для доказательства возрастания функции возьмем две точки \( x_1 \) и \( x_2 \) из области определения, такие что \( x_2 > x_1 \geq \frac{1}{3} \). Умножим обе части неравенства на 3: \( 3x_2 > 3x_1 \geq 1 \). Теперь вычтем из обеих частей число 1: \( 3x_2 — 1 > 3x_1 — 1 \geq 0 \). Поскольку обе части неотрицательны, извлекаем корень: \( \sqrt{3x_2 — 1} > \sqrt{3x_1 — 1} \).

Далее вычтем из обеих частей число 1: \( \sqrt{3x_2 — 1} — 1 > \sqrt{3x_1 — 1} — 1 \). Это означает, что \( y(x_2) > y(x_1) \). Следовательно, при увеличении аргумента значение функции увеличивается, что и требовалось доказать. Функция \( y = \sqrt{3x — 1} — 1 \) является возрастающей на своей области определения.