ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Функция \( y = f(x) \) возрастает на множестве \( \mathbb{R} \). Возрастающей или убывающей на множестве \( \mathbb{R} \) является функция (ответ обоснуйте):

1) \( y = -3f(x) \);

2) \( y = f(-x) \);

3) \( y = f(x + 5) \)?

1) Функция \( y = -3f(x) \) является убывающей, так как при \( x_2 > x_1 \) выполняется \( f(x_2) > f(x_1) \), но умножение на \(-3\) меняет знак неравенства: \(-3f(x_2) < -3f(x_1)\).

2) Функция \( y = f(-x) \) является убывающей, так как при \( x_2 > x_1 \) имеем \(-x_2 < -x_1\), а поскольку \( f \) возрастает, то \( f(-x_2) < f(-x_1) \).

3) Функция \( y = f(x + 5) \) является возрастающей, так как при \( x_2 > x_1 \) выполняется \( x_2 + 5 > x_1 + 5 \), и \( f(x_2 + 5) > f(x_1 + 5) \).

1) Рассмотрим функцию \( y = -3f(x) \). Из условия задачи известно, что функция \( y = f(x) \) является возрастающей на множестве \( \mathbb{R} \). Это означает, что для любых \( x_2 > x_1 \) выполняется неравенство \( f(x_2) > f(x_1) \).

Теперь умножим обе части этого неравенства на положительное число 3. Поскольку 3 больше нуля, знак неравенства не изменится: \( 3f(x_2) > 3f(x_1) \).

Далее умножим обе части на \(-1\), чтобы получить выражение с коэффициентом \(-3\). При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: \( -3f(x_2) < -3f(x_1) \).

Таким образом, если \( x_2 > x_1 \), то \( y(x_2) = -3f(x_2) < -3f(x_1) = y(x_1) \), что соответствует определению убывающей функции. Ответ: функция \( y = -3f(x) \) является убывающей.

2) Рассмотрим функцию \( y = f(-x) \). Поскольку \( y = f(x) \) возрастает на \( \mathbb{R} \), для любых \( x_2 > x_1 \) выполняется \( f(x_2) > f(x_1) \).

Возьмем два произвольных значения \( x_2 > x_1 \). Тогда, умножив обе части на \(-1\), получим \(-x_2 < -x_1\). Поскольку функция \( f \) возрастает, для значений аргумента \(-x_2\) и \(-x_1\) выполняется неравенство \( f(-x_2) < f(-x_1) \), так как \(-x_2 < -x_1\).

Это означает, что при \( x_2 > x_1 \) значение функции \( y(x_2) = f(-x_2) < f(-x_1) = y(x_1) \), что соответствует определению убывающей функции. Ответ: функция \( y = f(-x) \) является убывающей.

3) Рассмотрим функцию \( y = f(x + 5) \). Исходная функция \( y = f(x) \) возрастает на \( \mathbb{R} \), то есть для любых \( x_2 > x_1 \) выполняется \( f(x_2) > f(x_1) \).

Возьмем два произвольных значения \( x_2 > x_1 \). Тогда, прибавив к обеим частям неравенства число 5, получим \( x_2 + 5 > x_1 + 5 \). Поскольку функция \( f \) возрастает, для новых аргументов \( x_2 + 5 \) и \( x_1 + 5 \) выполняется неравенство \( f(x_2 + 5) > f(x_1 + 5) \).

Это означает, что при \( x_2 > x_1 \) значение функции \( y(x_2) = f(x_2 + 5) > f(x_1 + 5) = y(x_1) \), что соответствует определению возрастающей функции. Ответ: функция \( y = f(x + 5) \) является возрастающей.