ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Функция \( y = f(x) \) возрастает на множестве \( \mathbb{R} \). Возрастающей или убывающей на множестве \( \mathbb{R} \) является функция (ответ обоснуйте):

1) \( y = -3f(x) \);

2) \( y = f(-x) \);

3) \( y = f(x + 5) \)?

Чтобы доказать, что функция \( y = x^n \), где \( n \in \mathbb{N} \) и \( n \) — нечётное, является возрастающей, покажем, что для любых \( x_1 < x_2 \) выполняется \( y(x_1) < y(x_2) \).

1. Если \( x_2 > x_1 > 0 \), то \( x_2^n > x_1^n \), так как возведение в нечётную степень сохраняет порядок.
2. Если \( x_1 < x_2 < 0 \), то \( |x_2| < |x_1| \), и поскольку \( n \) нечётное, \( x_2^n > x_1^n \).
3. Если \( x_1 < 0 < x_2 \), то \( x_1^n < 0 < x_2^n \), следовательно, \( x_2^n > x_1^n \).
4. Если \( x_1 = 0 \) и \( x_2 > 0 \), то \( 0^n = 0 < x_2^n \).

Во всех случаях \( x_1 < x_2 \) влечёт \( y(x_1) < y(x_2) \), что подтверждает, что функция возрастающая.

Чтобы доказать, что функция \( y = x^n \), где \( n \in \mathbb{N} \) и \( n \) — нечётное, является возрастающей, необходимо показать, что для любых \( x_1 < x_2 \) выполняется неравенство \( y(x_1) < y(x_2) \). Рассмотрим все возможные случаи расположения точек \( x_1 \) и \( x_2 \) на числовой оси, учитывая знак и положение относительно нуля.

1) Пусть \( x_2 > x_1 > 0 \). В этом случае обе переменные положительны, и поскольку \( n \) — нечётное натуральное число, возведение в степень \( n \) сохраняет порядок чисел. Следовательно, \( x_2^n > x_1^n \), что означает \( y(x_2) > y(x_1) \). Условие возрастания выполняется.

2) Пусть \( x_1 < x_2 < 0 \). Здесь обе переменные отрицательны, и \( x_2 \) находится правее \( x_1 \), то есть \( |x_2| < |x_1| \). Так как \( n \) нечётное, знак числа сохраняется при возведении в степень, а порядок модулей меняется на противоположный. Таким образом, \( x_2^n > x_1^n \), что также означает \( y(x_2) > y(x_1) \). Условие возрастания выполняется и в этом случае.

3) Пусть \( x_1 < 0 < x_2 \). В этом случае \( x_1 \) отрицательно, а \( x_2 \) положительно. При возведении \( x_1 \) в нечётную степень \( n \) результат останется отрицательным, то есть \( x_1^n < 0 \), тогда как \( x_2^n > 0 \). Следовательно, \( x_2^n > x_1^n \), что означает \( y(x_2) > y(x_1) \). Условие возрастания снова выполняется.

4) Пусть \( x_1 = 0 \) и \( x_2 > 0 \). Здесь \( x_1 = 0 \), а \( x_2 \) положительно. Тогда \( x_1^n = 0^n = 0 \), а \( x_2^n > 0 \). Таким образом, \( x_2^n > x_1^n \), что означает \( y(x_2) > y(x_1) \). Условие возрастания выполняется и в этой ситуации.

В результате анализа всех возможных случаев расположения \( x_1 \) и \( x_2 \) на числовой оси мы убедились, что при \( x_1 < x_2 \) всегда выполняется \( y(x_1) < y(x_2) \). Это подтверждает, что функция \( y = x^n \) с нечётным \( n \) является строго возрастающей на всей области определения, то есть на множестве всех действительных чисел. Что и требовалось доказать.