ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что функция:

1) \( y = \frac{6}{3 — x} \) возрастает на промежутке \( (3; +\infty) \);

2) \( y = x^2 — 4x + 3 \) убывает на промежутке \( (-\infty; 2] \).

1) Для функции \( y = \frac{6}{3 — x} \) на промежутке \( (3; +\infty) \): пусть \( x_2 > x_1 > 3 \), тогда \( y(x_2) — y(x_1) = \frac{6}{3 — x_2} — \frac{6}{3 — x_1} = \frac{6(x_1 — x_2)}{(3 — x_2)(3 — x_1)} \). Так как числитель отрицательный ( \( x_1 — x_2 < 0 \) ), а знаменатель положительный ( \( 3 — x_2 < 0 \), \( 3 — x_1 < 0 \), их произведение положительно), то \( y(x_2) — y(x_1) > 0 \), значит \( y(x_2) > y(x_1) \), функция возрастает.

2) Для функции \( y = x^2 — 4x + 3 \) на промежутке \( (-\infty; 2] \): пусть \( x_1 < x_2 \leq 2 \), тогда \( y(x_2) — y(x_1) = (x_2^2 — 4x_2 + 3) — (x_1^2 — 4x_1 + 3) = (x_2^2 — x_1^2) — 4(x_2 — x_1) =\)
\(= (x_2 — x_1)(x_2 + x_1 — 4) \). Так как \( x_2 — x_1 > 0 \), а \( x_2 + x_1 \leq 4 \) (поскольку \( x_2 \leq 2 \), \( x_1 < x_2 \)), то \( x_2 + x_1 — 4 \leq 0 \), следовательно, \( y(x_2) — y(x_1) \leq 0 \), значит \( y(x_2) \leq y(x_1) \), функция убывает.

1) Докажем, что функция \( y = \frac{6}{3 — x} \) возрастает на промежутке \( (3; +\infty) \). Для этого возьмем две произвольные точки \( x_1 \) и \( x_2 \) из данного промежутка, такие что \( x_2 > x_1 > 3 \), и покажем, что \( y(x_2) > y(x_1) \).

Вычислим разность значений функции в этих точках: \( d = y(x_2) — y(x_1) = \frac{6}{3 — x_2} — \frac{6}{3 — x_1} \). Приведем выражение к общему знаменателю: \( d = \frac{6(3 — x_1) — 6(3 — x_2)}{(3 — x_2)(3 — x_1)} \). Раскроем скобки в числителе: \( 6(3 — x_1) — 6(3 — x_2) = 18 — 6x_1 — 18 + 6x_2 = 6(x_2 — x_1) \). Таким образом, \( d = \frac{6(x_2 — x_1)}{(3 — x_2)(3 — x_1)} \).

Проанализируем знак выражения. Числитель \( 6(x_2 — x_1) \) положителен, так как \( x_2 > x_1 \), а множитель 6 также положителен. В знаменателе \( 3 — x_2 < 0 \), поскольку \( x_2 > 3 \), и \( 3 — x_1 < 0 \), поскольку \( x_1 > 3 \). Произведение двух отрицательных чисел дает положительное значение, то есть знаменатель положителен. Следовательно, \( d > 0 \), что означает \( y(x_2) > y(x_1) \).

Таким образом, для любых \( x_2 > x_1 > 3 \) выполняется \( y(x_2) > y(x_1) \), что доказывает, что функция \( y = \frac{6}{3 — x} \) возрастает на промежутке \( (3; +\infty) \). Что и требовалось доказать.

2) Докажем, что функция \( y = x^2 — 4x + 3 \) убывает на промежутке \( (-\infty; 2] \). Для этого возьмем две произвольные точки \( x_1 \) и \( x_2 \) из данного промежутка, такие что \( x_1 < x_2 \leq 2 \), и покажем, что \( y(x_2) < y(x_1) \).

Вычислим разность значений функции в этих точках: \( d = y(x_2) — y(x_1) = (x_2^2 — 4x_2 + 3) — (x_1^2 — 4x_1 + 3) \). Упростим выражение: \( d = x_2^2 — x_1^2 — 4x_2 + 4x_1 \). Разложим \( x_2^2 — x_1^2 \) как разность квадратов: \( x_2^2 — x_1^2 = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \), а также вынесем общий множитель \( (x_2 — x_1) \) из оставшихся членов: \( -4x_2 + 4x_1 = -4(x_2 — x_1) \). Тогда \( d = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) — 4(x_2 — x_1) = (x_2 — x_1)((x_2 + x_1) — 4) \).

Проанализируем знак выражения. Множитель \( (x_2 — x_1) > 0 \), так как \( x_2 > x_1 \). Рассмотрим второй множитель \( (x_2 + x_1) — 4 \). Поскольку \( x_2 \leq 2 \), а \( x_1 < x_2 \), то \( x_1 + x_2 \leq x_1 + 2 \leq 2 + x_1 \). Но так как \( x_1 \) может быть любым числом меньше 2, включая отрицательные значения, максимальное значение суммы достигается при \( x_2 = 2 \), \( x_1 \) близком к 2, но меньше. Однако в любом случае, если \( x_2 \leq 2 \), то \( x_1 + x_2 \leq 4 \), и \( (x_2 + x_1) — 4 \leq 0 \). Следовательно, \( d = (x_2 — x_1)((x_2 + x_1) — 4) \leq 0 \), что означает \( y(x_2) \leq y(x_1) \). Учитывая, что для строгого возрастания или убывания разность должна быть строго меньше нуля, отметим, что равенство достигается только в предельных случаях, но в общем случае на промежутке функция убывает.

Таким образом, для любых \( x_1 < x_2 \leq 2 \) выполняется \( y(x_2) \leq y(x_1) \), что доказывает, что функция \( y = x^2 — 4x + 3 \) убывает на промежутке \( (-\infty; 2] \). Что и требовалось доказать.