ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что функция:
1) \( y = -\frac{x + 5}{7} \) убывает на промежутке \( (-5; +\infty) \);
2) \( y = 6x — x^2 \) возрастает на промежутке \( (-\infty; 3] \).

1) Для функции \( y = -\frac{x + 5}{7} \) на промежутке \( (-5; +\infty) \):
Пусть \( x_1 < x_2 \), тогда \( y(x_2) — y(x_1) = -\frac{x_2 + 5}{7} — \left(-\frac{x_1 + 5}{7}\right) = -\frac{x_2 + 5 — (x_1 + 5)}{7} = -\frac{x_2 — x_1}{7} < 0 \), так как \( x_2 — x_1 > 0 \). Значит, \( y(x_2) < y(x_1) \), и функция убывает.

2) Для функции \( y = 6x — x^2 \) на промежутке \( (-\infty; 3] \):
Пусть \( x_1 < x_2 \leq 3 \), тогда \( y(x_2) — y(x_1) = (6x_2 — x_2^2) — (6x_1 — x_1^2) = (x_2^2 — x_1^2) — 6(x_2 — x_1) =\)
\(= (x_2 — x_1)(x_2 + x_1 — 6) \). Так как \( x_2 + x_1 \leq 6 \), выражение \( (x_2 — x_1)(x_2 + x_1 — 6) \geq 0 \). Значит, \( y(x_2) \geq y(x_1) \), и функция возрастает.

1) Докажем, что функция \( y = \frac{7}{x + 5} \) убывает на промежутке \( (-5; +\infty) \). Для этого нам нужно показать, что при увеличении аргумента \( x \) значение функции \( y \) уменьшается. Рассмотрим две точки \( x_1 \) и \( x_2 \) из указанного промежутка, где \( x_1 < x_2 \), и вычислим разность значений функции в этих точках: \( y(x_2) — y(x_1) \).

Выразим значения функции: \( y(x_1) = \frac{7}{x_1 + 5} \) и \( y(x_2) = \frac{7}{x_2 + 5} \). Тогда разность будет: \( y(x_2) — y(x_1) = \frac{7}{x_2 + 5} — \frac{7}{x_1 + 5} \). Приведем выражение к общему знаменателю \( (x_2 + 5)(x_1 + 5) \): \( y(x_2) — y(x_1) = \frac{7(x_1 + 5) — 7(x_2 + 5)}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} = \frac{7x_1 + 35 — 7x_2 — 35}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} = \frac{7(x_1 — x_2)}{(x_2 + 5)(x_1 + 5)} \).

Проанализируем знак полученного выражения. Числитель \( 7(x_1 — x_2) \) отрицателен, так как \( x_1 < x_2 \), а значит \( x_1 — x_2 < 0 \). Знаменатель \( (x_2 + 5)(x_1 + 5) \) положителен, поскольку \( x_1 > -5 \) и \( x_2 > -5 \), то есть \( x_1 + 5 > 0 \) и \( x_2 + 5 > 0 \). Следовательно, \( y(x_2) — y(x_1) < 0 \), что означает \( y(x_2) < y(x_1) \).

Таким образом, при \( x_1 < x_2 \) выполняется \( y(x_2) < y(x_1) \), что и требовалось доказать: функция \( y = \frac{7}{x + 5} \) убывает на промежутке \( (-5; +\infty) \).

2) Докажем, что функция \( y = 6x — x^2 \) возрастает на промежутке \( (-\infty; 3] \). Для этого покажем, что при увеличении аргумента \( x \) значение функции \( y \) увеличивается. Рассмотрим две точки \( x_1 \) и \( x_2 \) из указанного промежутка, где \( x_1 < x_2 \leq 3 \), и вычислим разность значений функции: \( y(x_2) — y(x_1) \). Выразим значения функции: \( y(x_1) = 6x_1 — x_1^2 \) и \( y(x_2) = 6x_2 — x_2^2 \). Тогда разность будет: \( y(x_2) — y(x_1) = (6x_2 — x_2^2) — (6x_1 — x_1^2) = 6x_2 — x_2^2 — 6x_1 + x_1^2 =\)
\(= (x_1^2 — x_2^2) + 6(x_2 — x_1) \).

Преобразуем выражение, выделив множители: \( x_1^2 — x_2^2 = (x_1 — x_2)(x_1 + x_2) \), поэтому \( y(x_2) — y(x_1) = (x_1 — x_2)(x_1 + x_2) + 6(x_2 — x_1) = (x_2 — x_1)(6 — (x_1 + x_2)) \). Здесь \( x_2 — x_1 > 0 \), так как \( x_1 < x_2 \), а \( 6 — (x_1 + x_2) \geq 0 \), поскольку \( x_1 + x_2 \leq 6 \) (учитывая, что \( x_2 \leq 3 \), а \( x_1 < x_2 \)).

Следовательно, \( y(x_2) — y(x_1) \geq 0 \), что означает \( y(x_2) \geq y(x_1) \). Таким образом, при \( x_1 < x_2 \) выполняется \( y(x_2) \geq y(x_1) \), что и требовалось доказать: функция \( y = 6x — x^2 \) возрастает на промежутке \( (-\infty; 3] \).