ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что функция \( y = -\frac{x}{k} \) убывает на каждом из промежутков \( (-\infty; 0) \) и \( (0; +\infty) \) при \( k > 0 \) и возрастает на каждом из этих промежутков при \( k < 0 \).

Для функции \( y = -\frac{x}{k} \) исследуем её монотонность на промежутках \( (-\infty; 0) \) и \( (0; +\infty) \). Возьмём две точки \( x_1 \) и \( x_2 \) такие, что \( x_1 < x_2 \), и они принадлежат одному из указанных промежутков. Тогда разность значений функции: \( y(x_2) - y(x_1) = -\frac{x_2}{k} + \frac{x_1}{k} = \frac{x_1 - x_2}{k} \). Поскольку \( x_1 < x_2 \), то \( x_1 - x_2 < 0 \). Если \( k > 0 \), то \( y(x_2) — y(x_1) < 0 \), значит \( y(x_2) < y(x_1) \), и функция убывает. Если \( k < 0 \), то \( y(x_2) - y(x_1) > 0 \), значит \( y(x_2) > y(x_1) \), и функция возрастает. Это справедливо для обоих промежутков, так как знак \( x \) не влияет на вывод о монотонности в данном выражении.

1) Рассмотрим функцию \( y = -\frac{x}{k} \), которая определена на промежутках \( (-\infty; 0) \) и \( (0; +\infty) \). Нам необходимо доказать, что эта функция убывает на каждом из этих промежутков при \( k > 0 \) и возрастает при \( k < 0 \). Для этого мы будем анализировать поведение функции, сравнивая её значения в двух точках на одном промежутке.

2) Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — две точки из одного промежутка, такие что \( x_1 < x_2 \). Это означает, что либо обе точки принадлежат промежутку \( (-\infty; 0) \), либо обе принадлежат промежутку \( (0; +\infty) \). Вычислим значения функции в этих точках: \( y(x_1) = -\frac{x_1}{k} \) и \( y(x_2) = -\frac{x_2}{k} \). Теперь найдём разность \( y(x_2) — y(x_1) \), чтобы определить изменение функции.

3) Разность значений функции равна: \( y(x_2) — y(x_1) = -\frac{x_2}{k} — \left(-\frac{x_1}{k}\right) = -\frac{x_2}{k} + \frac{x_1}{k} = \frac{x_1 — x_2}{k} \). Поскольку \( x_1 < x_2 \), выражение \( x_1 — x_2 \) всегда отрицательно, то есть \( x_1 — x_2 < 0 \). Знак этой разности теперь зависит от значения \( k \).

4) Рассмотрим случай, когда \( k > 0 \). В этом случае знаменатель \( k \) положительный, а числитель \( x_1 — x_2 < 0 \), следовательно, \( \frac{x_1 — x_2}{k} < 0 \). Это означает, что \( y(x_2) — y(x_1) < 0 \), или \( y(x_2) < y(x_1) \). Таким образом, при увеличении аргумента \( x \) значение функции уменьшается, что свидетельствует об убывании функции на каждом из промежутков \( (-\infty; 0) \) и \( (0; +\infty) \) при \( k > 0 \).

5) Теперь рассмотрим случай, когда \( k < 0 \). Здесь знаменатель \( k \) отрицательный, а числитель \( x_1 — x_2 < 0 \), следовательно, \( \frac{x_1 — x_2}{k} > 0 \), так как отрицательное число, делённое на отрицательное, даёт положительный результат. Это означает, что \( y(x_2) — y(x_1) > 0 \), или \( y(x_2) > y(x_1) \). Таким образом, при увеличении аргумента \( x \) значение функции увеличивается, что свидетельствует о возрастании функции на каждом из промежутков \( (-\infty; 0) \) и \( (0; +\infty) \) при \( k < 0 \).

6) Важно отметить, что знак \( x \) (положительный или отрицательный) не влияет на вывод о монотонности, так как в выражении разности \( y(x_2) — y(x_1) = \frac{x_1 — x_2}{k} \) учитывается только относительное положение точек \( x_1 \) и \( x_2 \), а не их абсолютные значения. Поэтому выводы о монотонности справедливы для обоих промежутков.

7) Таким образом, мы доказали, что функция \( y = -\frac{x}{k} \) убывает на промежутках \( (-\infty; 0) \) и \( (0; +\infty) \), если \( k > 0 \), и возрастает на тех же промежутках, если \( k < 0 \). Это завершает доказательство.