ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На рисунке 2.10 изображён график функции \( y = f(x) \), определённой на множестве \( \mathbb{R} \). Пользуясь графиком, найдите:

1) нули функции;

2) промежутки знакопостоянства функции;

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

4) значение: \( \max f(x) \), \( \min f(x) \), \( \max f(x) \), \( \min f(x) \), \( \max f(x) \), \( \min f(x) \) на интервале \( [-1; 0) \).

1) Нули функции: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \). Это точки, где график пересекает ось \( x \), то есть \( f(x) = 0 \).

2) Промежутки знакопостоянства: \( f(x) > 0 \) при \( x \in (2; +\infty) \); \( f(x) < 0 \) при \( x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2) \). Это определяется положением графика относительно оси \( x \).

3) Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает на \( (-\infty; 0] \cup [1; +\infty) \), убывает на \( [0; 1] \). Это видно по направлению графика: вверх — возрастание, вниз — убывание.

4) Значения на интервале \( [-1; 0) \): \( \max f(x) \) отсутствует, так как функция не достигает максимума на открытом интервале; \( \min f(x) = f(-1) = -2 \). Это определяется анализом значений функции на заданном интервале.

1) Нули функции — это значения \( x \), при которых \( f(x) = 0 \), то есть точки, где график функции пересекает ось \( x \). Согласно графику, такие точки находятся в \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \). Таким образом, нули функции: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \).

2) Промежутки знакопостоянства функции определяются областями, где функция принимает положительные или отрицательные значения. Анализируя график, видно, что \( f(x) > 0 \) на промежутке \( x \in (2; +\infty) \), то есть справа от точки \( x = 2 \) график находится выше оси \( x \). В то же время \( f(x) < 0 \) на промежутках \( x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2) \), что соответствует областям слева от \( x = 0 \) и между \( x = 0 \) и \( x = 2 \), где график находится ниже оси \( x \).

3) Промежутки возрастания и убывания функции определяются по направлению изменения графика. Функция возрастает, если при увеличении \( x \) значение \( f(x) \) увеличивается, и убывает, если при увеличении \( x \) значение \( f(x) \) уменьшается. Согласно графику, функция возрастает на промежутках \( x \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty) \), то есть от минус бесконечности до точки \( x = 0 \) включительно и от точки \( x = 1 \) до плюс бесконечности. Функция убывает на промежутке \( x \in [0; 1] \), то есть между точками \( x = 0 \) и \( x = 1 \).

4) Наибольшие и наименьшие значения функции определяются на заданных интервалах. На всем множестве \( \mathbb{R} \) максимальное значение функции отсутствует, так как график уходит в плюс бесконечность, и минимальное значение также отсутствует, поскольку график не ограничен снизу. На отрезке \( [0; 2] \) максимальное значение достигается в точке \( x = 0 \), где \( f(0) = 0 \), а минимальное значение — в точке \( x = 1 \), где \( f(1) = -2.5 \). На интервале \( [-1; 0) \) максимальное значение отсутствует, так как интервал открыт справа и функция не достигает максимума, а минимальное значение достигается в точке \( x = -1 \), где \( f(-1) = -2 \).