Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Найдите промежутки возрастания и убывания функции \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \).
Для функции \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \) определим промежутки возрастания и убывания через производную. Производная: \( y’ = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \). Критическая точка: \( y’ = 0 \) при \( x = 0 \). Анализируем знак производной: для \( x < 0 \) \( y’ > 0 \), для \( x > 0 \) \( y’ < 0 \). Таким образом, функция возрастает на \( (-\infty, 0] \) и убывает на \( [0, +\infty) \).
1. Для функции \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \) необходимо найти промежутки возрастания и убывания. Для этого мы будем анализировать поведение функции, используя разностный метод, как в примере, без привлечения производной, чтобы соответствовать предоставленному решению.
2. Рассмотрим два значения аргумента \( x_2 \) и \( x_1 \), где \( x_2 > x_1 \). Найдем разность значений функции в этих точках: \( d = y(x_2) — y(x_1) = \frac{1}{x_2^2 + 1} — \frac{1}{x_1^2 + 1} \). Приведем выражение к общему знаменателю: \( d = \frac{(x_1^2 + 1) — (x_2^2 + 1)}{(x_2^2 + 1)(x_1^2 + 1)} = \frac{x_1^2 — x_2^2}{(x_2^2 + 1)(x_1^2 + 1)} \). Учитывая, что \( x_1^2 — x_2^2 = (x_1 — x_2)(x_1 + x_2) \), получим: \( d = \frac{(x_1 — x_2)(x_1 + x_2)}{(x_2^2 + 1)(x_1^2 + 1)} \).
3. Поскольку \( x_2 > x_1 \), то \( x_1 — x_2 < 0 \), и знак разности \( d \) определяется выражением \( x_1 + x_2 \). Если \( x_1 + x_2 < 0 \), то \( d > 0 \), что означает \( y(x_2) > y(x_1) \), и функция возрастает. Если \( x_1 + x_2 > 0 \), то \( d < 0 \), что означает \( y(x_2) < y(x_1) \), и функция убывает.
4. Условие \( x_1 + x_2 < 0 \) выполняется, когда оба значения \( x_1 \) и \( x_2 \) находятся слева от нуля или одно из них равно нулю, то есть \( x_1 < x_2 \leq 0 \). Это соответствует промежутку \( (-\infty, 0] \), где функция возрастает. Условие \( x_1 + x_2 > 0 \) выполняется, когда оба значения \( x_1 \) и \( x_2 \) находятся справа от нуля или одно из них равно нулю, то есть \( x_1 \geq 0 \). Это соответствует промежутку \( [0, +\infty) \), где функция убывает.
5. Таким образом, функция \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \) возрастает на промежутке \( (-\infty, 0] \) и убывает на промежутке \( [0, +\infty) \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.