ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите промежутки возрастания и убывания функции \( y = -x^2 — 4 \).

Для функции \( y = -x^2 — 4 \) определим промежутки возрастания и убывания. Производная функции: \( y’ = -2x \). Критическая точка: \( -2x = 0 \), то есть \( x = 0 \). Анализируем знак производной: для \( x < 0 \) \( y’ > 0 \), функция возрастает; для \( x > 0 \) \( y’ < 0 \), функция убывает. Ответ: функция возрастает на \( (-\infty, 0] \) и убывает на \( [0, +\infty) \).

1) Для определения промежутков возрастания и убывания функции \( y = -x^2 — 4 \) рассмотрим поведение функции при изменении аргумента. Пусть \( x_2 > x_1 \), тогда вычислим разность значений функции: \( y(x_2) — y(x_1) = (-x_2^2 — 4) — (-x_1^2 — 4) = -x_2^2 + x_1^2 = -(x_2^2 — x_1^2) \). Раскроем разность квадратов: \( x_2^2 — x_1^2 = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \), следовательно, \( y(x_2) — y(x_1) = -(x_2 — x_1)(x_2 + x_1) \). Учитывая, что \( x_2 > x_1 \), выражение \( x_2 — x_1 > 0 \), поэтому знак разности \( y(x_2) — y(x_1) \) определяется множителем \( -(x_2 + x_1) \), то есть противоположен знаку \( x_2 + x_1 \).

2) Определим промежуток возрастания. Функция возрастает, если \( y(x_2) > y(x_1) \), то есть \( y(x_2) — y(x_1) > 0 \). Подставим: \( -(x_2 — x_1)(x_2 + x_1) > 0 \). Так как \( x_2 — x_1 > 0 \), то \( -(x_2 + x_1) > 0 \), а значит \( x_2 + x_1 < 0 \). Это выполняется, если \( x_2 < 0 \) и \( x_1 < 0 \). Следовательно, функция возрастает на промежутке \( (-\infty, 0] \). Для промежутка убывания: \( y(x_2) < y(x_1) \), то есть \( -(x_2 — x_1)(x_2 + x_1) < 0 \), откуда \( x_2 + x_1 > 0 \), что выполняется, если \( x_2 > 0 \) и \( x_1 > 0 \). Таким образом, функция убывает на промежутке \( [0, +\infty) \).

3) Ответ: функция возрастает на \( (-\infty, 0] \) и убывает на \( [0, +\infty) \).