ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите промежутки возрастания и убывания функции \( y = |x — a| \).

Для функции \( y = |x — a| \) определим промежутки возрастания и убывания. Функция \( y = |x — a| \) имеет точку перегиба в \( x = a \). Для \( x \geq a \) функция принимает вид \( y = x — a \), что является возрастающей, так как производная положительна. Для \( x < a \) функция принимает вид \( y = a — x \), что является убывающей, так как производная отрицательна. Таким образом, функция возрастает на промежутке \( [a, +\infty) \) и убывает на промежутке \( (-\infty, a] \).

1) Рассмотрим функцию \( y = |x — a| \). Для определения промежутков возрастания и убывания необходимо проанализировать поведение функции на различных участках числовой оси относительно точки \( x = a \), где модуль меняет свое выражение.

2) Разделим числовую ось на два промежутка: \( x \geq a \) и \( x < a \). Для каждого из этих промежутков выражение внутри модуля будет иметь определенный знак, что позволяет упростить функцию.

3) Пусть \( x_2 > x_1 \geq a \). Тогда \( |x_2 — a| = x_2 — a \) и \( |x_1 — a| = x_1 — a \). Вычислим разность значений функции: \( y(x_2) — y(x_1) = (x_2 — a) — (x_1 — a) = x_2 — x_1 > 0 \). Поскольку \( y(x_2) > y(x_1) \), функция возрастает на промежутке \( [a, +\infty) \).

4) Теперь рассмотрим случай, когда \( x_1 < x_2 \leq a \). Здесь \( |x_2 — a| = a — x_2 \) и \( |x_1 — a| = a — x_1 \). Вычислим разность: \( y(x_2) — y(x_1) = (a — x_2) — (a — x_1) = x_1 — x_2 < 0 \). Следовательно, \( y(x_2) < y(x_1) \), и функция убывает на промежутке \( (-\infty, a] \).

5) Таким образом, на основе проведенного анализа можно сделать вывод, что функция \( y = |x — a| \) возрастает на промежутке \( [a, +\infty) \) и убывает на промежутке \( (-\infty, a] \).