ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что функция является возрастающей:

1) \( y = x^5 + x \);

2) \( y = x^4 + \sqrt{x} \);

3) \( y = \sqrt{x — 1} + \sqrt{x} \);

4) \( y = x\sqrt{x} \);

5) \( y = x — x \);

6) \( y = (\sqrt{x + 1})^3 \).

1) Для функции \( y = x^5 + x \) обе слагаемые \( x^5 \) и \( x \) возрастают на всей числовой прямой \(\mathbb{R}\), следовательно, их сумма также возрастающая.

2) Для функции \( y = x^4 + \sqrt{x} \) область определения \( D(y) = [0; +\infty) \). Функции \( x^4 \) и \( \sqrt{x} \) возрастают на \( [0; +\infty) \), значит, их сумма возрастающая.

3) Для функции \( y = \sqrt{x — 1} + \sqrt{x} \) область определения \( D(y) = [1; +\infty) \). Обе функции \( \sqrt{x — 1} \) и \( \sqrt{x} \) возрастают на \( [1; +\infty) \), следовательно, их сумма возрастающая.

4) Для функции \( y = x\sqrt{x} \) область определения \( D(y) = [0; +\infty) \). Функции \( x \) и \( \sqrt{x} \) возрастают и неотрицательны на \( [0; +\infty) \), значит, их произведение возрастающее.

5) Для функции \( y = x — x = 0 \) получаем константу, которая не является ни возрастающей, ни убывающей в строгом смысле. Если подразумевалась другая функция, уточните.

6) Для функции \( y = (\sqrt{x + 1})^3 \) область определения \( D(y) = [0; +\infty) \). Функция \( \sqrt{x + 1} \) возрастает, а возведение в третью степень сохраняет монотонность, следовательно, функция возрастающая.

1) Рассмотрим функцию \( y = x^5 + x \). Для доказательства того, что эта функция является возрастающей на всей числовой прямой \( \mathbb{R} \), отметим, что она представляет собой сумму двух функций: \( f(x) = x^5 \) и \( g(x) = x \). Известно, что функция \( x^5 \) возрастает на \( \mathbb{R} \), так как нечетная степень сохраняет монотонность, а функция \( x \) также очевидно возрастает. Поскольку сумма двух возрастающих функций также является возрастающей, заключаем, что \( y = x^5 + x = f(x) + g(x) \) возрастает на \( \mathbb{R} \). Что и требовалось доказать.

2) Рассмотрим функцию \( y = x^4 + \sqrt{x} \). Сначала определим область определения: поскольку под корнем должно быть неотрицательное выражение, то \( x \geq 0 \), следовательно, \( D(y) = [0; +\infty) \). Функция представлена как сумма \( f(x) = x^4 \) и \( g(x) = \sqrt{x} \). Функция \( x^4 \) возрастает на \( [0; +\infty) \), так как четная степень с положительным коэффициентом обеспечивает рост при \( x \geq 0 \). Функция \( \sqrt{x} \) также возрастает на \( [0; +\infty) \), что следует из свойств корня. Сумма двух возрастающих функций на данной области является возрастающей, значит, \( y = x^4 + \sqrt{x} = f(x) + g(x) \) возрастает на \( [0; +\infty) \). Что и требовалось доказать.

3) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{x — 1} + \sqrt{x} \). Область определения определяется условием неотрицательности подкоренных выражений: для \( \sqrt{x — 1} \) необходимо \( x — 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq 1 \), а для \( \sqrt{x} \) достаточно \( x \geq 0 \). Таким образом, \( D(y) = [1; +\infty) \). Функция представлена как сумма \( f(x) = \sqrt{x — 1} \) и \( g(x) = \sqrt{x} \), обе из которых возрастают на \( [1; +\infty) \), так как корень является возрастающей функцией на области определения. Сумма возрастающих функций также возрастает, следовательно, \( y = \sqrt{x — 1} + \sqrt{x} = f(x) + g(x) \) возрастает на \( [1; +\infty) \). Что и требовалось доказать.

4) Рассмотрим функцию \( y = x \sqrt{x} \). Область определения определяется условием \( x \geq 0 \), так как под корнем должно быть неотрицательное значение, следовательно, \( D(y) = [0; +\infty) \). Представим функцию как произведение \( f(x) = x \) и \( g(x) = \sqrt{x} \). Обе функции возрастают на \( [0; +\infty) \), причем \( f(x) \geq 0 \) и \( g(x) \geq 0 \) при \( x \geq 0 \). Известно, что произведение двух неотрицательных возрастающих функций также является возрастающей функцией. Таким образом, \( y = x \sqrt{x} = f(x) g(x) \) возрастает на \( [0; +\infty) \). Что и требовалось доказать.

5) Рассмотрим функцию \( y = x \sqrt{-x} \). Область определения определяется условием \( -x \geq 0 \), то есть \( x \leq 0 \), следовательно, \( D(y) = (-\infty; 0] \). Для доказательства возрастания возьмем две точки \( x_1 < x_2 \leq 0 \). Поскольку \( x_1 \) и \( x_2 \) отрицательны, \( |x_2| < |x_1| \), а значит, \( \sqrt{-x_2} < \sqrt{-x_1} \). Учитывая знак, \( x_2 \sqrt{-x_2} > x_1 \sqrt{-x_1} \), так как произведение более отрицательного числа на больший корень дает меньшее значение по модулю, но с учетом знака результат больше. Таким образом, \( y(x_2) > y(x_1) \), что доказывает возрастание функции на \( (-\infty; 0] \). Что и требовалось доказать.

6) Рассмотрим функцию \( y = (\sqrt{x + 1})^3 = x + 2\sqrt{x} + 1 \). Область определения определяется условием \( x + 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq 0 \), следовательно, \( D(y) = [0; +\infty) \). Представим функцию как сумму \( f(x) = x + 1 \) и \( g(x) = 2\sqrt{x} \). Функция \( x + 1 \) очевидно возрастает на \( [0; +\infty) \), а функция \( 2\sqrt{x} \) также возрастает, так как корень возрастает, а коэффициент положителен. Сумма двух возрастающих функций является возрастающей, значит, \( y = x + 2\sqrt{x} + 1 = f(x) + g(x) \) возрастает на \( [0; +\infty) \). Что и требовалось доказать.