ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что функция является убывающей:

1) \( y = -x + 7 \);

2) \( y = \sqrt{2 — x} + \sqrt{-x} \);

3) \( y = -x — x \);

4) \( y = -\frac{x}{x} \cdot x \).

1) Для функции \( y = -x + 7 \) область определения \( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Функция \( f(x) = -x \) убывает, а константа \( 7 \) не влияет на характер монотонности. Значит, \( y = -x + 7 \) убывающая.

2) Для функции \( y = \sqrt{2 — x} + \sqrt{-x} \) область определения \( D(y) = (-\infty; 0] \). Обе функции \( f(x) = \sqrt{2 — x} \) и \( g(x) = \sqrt{-x} \) убывают на этой области, так как их аргументы уменьшаются при увеличении \( x \). Сумма убывающих функций также убывающая.

3) Для функции \( y = -x — x = -2x \) область определения \( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Функция \( y = -2x \) убывает, так как коэффициент при \( x \) отрицательный.

4) Для функции \( y = -\frac{x}{x} \cdot x = -x \) область определения \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \). После упрощения получаем \( y = -x \), которая убывает на всей области определения.

1) Рассмотрим функцию \( y = -x + 7 \). Первым шагом определим область определения функции. Поскольку это линейная функция, она определена на всей числовой оси, то есть \( D(y) = (-\infty; +\infty) \). Однако, в условии указано \( D(y) = (0; +\infty) \), что, вероятно, является ограничением для конкретного контекста. Мы будем рассматривать функцию на указанном интервале.

Для доказательства убывания функции разложим её на сумму двух функций: \( f(x) = -x \) и \( g(x) = 7 \). Функция \( f(x) = -x \) является убывающей на любом интервале, включая \( (0; +\infty) \), так как при увеличении \( x \) значение \( -x \) уменьшается. Функция \( g(x) = 7 \) является константой, а константа не влияет на характер монотонности, то есть её можно считать нейтральной (ни возрастающей, ни убывающей).

Поскольку сумма убывающей функции и константы остаётся убывающей, заключаем, что \( y = -x + 7 = f(x) + g(x) \) является убывающей на \( (0; +\infty) \). Это и требовалось доказать.

2) Перейдём к функции \( y = \sqrt{2 — x} + \sqrt{-x} \). Сначала определим область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, поэтому для \( \sqrt{2 — x} \) необходимо \( 2 — x \geq 0 \), то есть \( x \leq 2 \), а для \( \sqrt{-x} \) необходимо \( -x \geq 0 \), то есть \( x \leq 0 \). Таким образом, область определения \( D(y) = (-\infty; 0] \).

Разложим функцию на сумму: \( f(x) = \sqrt{2 — x} \) и \( g(x) = \sqrt{-x} \). Рассмотрим поведение каждой из них на \( (-\infty; 0] \). Для \( f(x) = \sqrt{2 — x} \) аргумент \( 2 — x \) уменьшается при увеличении \( x \), а поскольку корень квадратный — возрастающая функция, значение \( f(x) \) уменьшается, то есть \( f(x) \) убывает. Аналогично, для \( g(x) = \sqrt{-x} \) аргумент \( -x \) уменьшается при увеличении \( x \), и значение \( g(x) \) также уменьшается, то есть \( g(x) \) убывает.

Так как сумма двух убывающих функций является убывающей, заключаем, что \( y = \sqrt{2 — x} + \sqrt{-x} = f(x) + g(x) \) убывает на \( (-\infty; 0] \). Это и требовалось доказать.

3) Рассмотрим функцию \( y = -x \sqrt{-x} \). Определим область определения: выражение под корнем \( -x \geq 0 \), значит \( x \leq 0 \), то есть \( D(y) = (-\infty; 0] \).

Представим функцию как произведение: \( f(x) = -x \) и \( g(x) = \sqrt{-x} \). На интервале \( (-\infty; 0] \) функция \( f(x) = -x \) возрастает, так как при увеличении \( x \) (например, от -2 к -1) значение \( -x \) уменьшается (от 2 к 1), но поскольку \( x < 0 \), значения \( -x > 0 \). Функция \( g(x) = \sqrt{-x} \) убывает, так как при увеличении \( x \) аргумент \( -x \) уменьшается, и значение корня уменьшается.

Теперь учтём, что произведение возрастающей функции \( f(x) = -x \) (положительной на \( x < 0 \)) и убывающей функции \( g(x) = \sqrt{-x} \) (также положительной) является убывающей функцией. Таким образом, \( y = -x \sqrt{-x} = f(x) \cdot g(x) \) убывает на \( (-\infty; 0] \). Это и требовалось доказать.

4) Наконец, рассмотрим функцию \( y = -x \sqrt{x} \). Определим область определения: выражение под корнем \( x \geq 0 \), значит \( D(y) = [0; +\infty) \).

Докажем убывание функции непосредственным сравнением значений. Пусть \( x_2 > x_1 \geq 0 \). Тогда рассмотрим разность \( y(x_1) — y(x_2) = (-x_1 \sqrt{x_1}) — (-x_2 \sqrt{x_2}) = -x_1 \sqrt{x_1} + x_2 \sqrt{x_2} \). Нам нужно показать, что \( y(x_2) < y(x_1) \), то есть \( x_2 \sqrt{x_2} < x_1 \sqrt{x_1} \), но поскольку значения отрицательны, учитываем знак.

Переформулируем: \( y(x_2) = -x_2 \sqrt{x_2} = -x_2^{3/2} \), \( y(x_1) = -x_1^{3/2} \). Поскольку \( x_2 > x_1 \geq 0 \), то \( x_2^{3/2} > x_1^{3/2} \), а с учётом знака \( -x_2^{3/2} < -x_1^{3/2} \), то есть \( y(x_2) < y(x_1) \). Это подтверждает, что функция убывает на \( [0; +\infty) \). Что и требовалось доказать.