Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Функция \( y = f(x) \) является возрастающей. Верно ли утверждение, что возрастающей является функция:
1) \( y = (f(x))^2 \);
2) \( y = (f(x))^3 \)?
1) Функция \( y = (f(x))^2 \) не является возрастающей. Если \( f(x) \) принимает отрицательные значения, то при \( x_2 > x_1 \) и \( f(x_2) > f(x_1) < 0 \), выполняется \( (f(x_2))^2 < (f(x_1))^2 \), что противоречит возрастанию.
2) Функция \( y = (f(x))^3 \) является возрастающей. Так как кубическая функция монотонно возрастает, при \( x_2 > x_1 \) и \( f(x_2) > f(x_1) \), всегда выполняется \( (f(x_2))^3 > (f(x_1))^3 \).
1) Рассмотрим функцию \( y = (f(x))^2 \). Нам нужно определить, является ли она возрастающей, если исходная функция \( f(x) \) является возрастающей. Функция считается возрастающей, если для любых \( x_1 \) и \( x_2 \), где \( x_2 > x_1 \), выполняется \( y(x_2) > y(x_1) \). Поскольку \( f(x) \) возрастает, то при \( x_2 > x_1 \) имеем \( f(x_2) > f(x_1) \).
Теперь возведем обе стороны неравенства в квадрат. Если значения \( f(x_1) \) и \( f(x_2) \) положительны, то \( (f(x_2))^2 > (f(x_1))^2 \), и функция ведет себя как возрастающая. Однако, если значения отрицательны, то есть \( f(x_2) > f(x_1) < 0 \), то при возведении в квадрат знак неравенства меняется: \( |f(x_2)| < |f(x_1)| \), а значит \( (f(x_2))^2 < (f(x_1))^2 \). Это противоречит определению возрастающей функции.
Таким образом, функция \( y = (f(x))^2 \) не является возрастающей, так как в случае отрицательных значений \( f(x) \) неравенство нарушается. Ответ: нет, функция не является возрастающей.
2) Рассмотрим функцию \( y = (f(x))^3 \). Снова предполагаем, что \( f(x) \) является возрастающей, то есть при \( x_2 > x_1 \) выполняется \( f(x_2) > f(x_1) \).
Возведем обе стороны в третью степень. Функция возведения в куб является монотонно возрастающей на всей числовой прямой, независимо от знака аргумента. Это значит, что если \( f(x_2) > f(x_1) \), то всегда будет выполняться \( (f(x_2))^3 > (f(x_1))^3 \), будь то положительные, отрицательные или нулевые значения.
Таким образом, функция \( y = (f(x))^3 \) сохраняет свойство возрастания исходной функции \( f(x) \). Ответ: да, функция является возрастающей.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.