ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите \( \max f(x) \) и \( \min f(x) \), если:

1) \( f(x) = x^2 — 6x + 10 \), \( M = \mathbb{R} \);

2) \( f(x) = \sqrt{16 — x^2} \), \( M = D(f) \).

1. Для \( f(x) = x^2 — 6x + 10 \), \( M = \mathbb{R} \):
Ветви параболы вверх (\( a = 1 > 0 \)). Вершина: \( x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{2} = 3 \), \( y_0 = 3^2 — 6 \cdot 3 + 10 = 9 — 18 + 10 = 1 \).
Ответ: \( \max f(x) \) нет, \( \min f(x) = 1 \).

2. Для \( f(x) = \sqrt{16 — x^2} \), \( M = D(f) \):
Область определения: \( 16 — x^2 \geq 0 \), т.е. \( x^2 \leq 16 \), \( x \in [-4, 4] \). Функция достигает максимума при \( x = 0 \): \( f(0) = \sqrt{16} = 4 \), и минимума на границах: \( f(\pm 4) = 0 \).
Ответ: \( \max f(x) = 4 \), \( \min f(x) = 0 \).

1. Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 — 6x + 10 \), заданную на множестве \( M = \mathbb{R} \). Эта функция представляет собой параболу, и нам нужно определить ее максимальное и минимальное значения. Коэффициент при \( x^2 \) равен \( a = 1 \), что больше 0, значит, ветви параболы направлены вверх. В таком случае функция имеет минимум в вершине параболы, а максимума на всей области определения не существует.

Для нахождения координат вершины параболы используем формулы \( x_0 = -\frac{b}{2a} \) и \( y_0 = f(x_0) \). Подставим значения коэффициентов \( a = 1 \), \( b = -6 \): \( x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \). Теперь вычислим значение функции в этой точке: \( y_0 = f(3) = 3^2 — 6 \cdot 3 + 10 = 9 — 18 + 10 = 1 \). Таким образом, минимальное значение функции равно 1, а максимального значения нет, так как парабола уходит в бесконечность при \( x \to \pm \infty \).

Ответ: \( \max f(x) \) нет, \( \min f(x) = 1 \).

2. Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{16 — x^2} \), заданную на множестве \( M = D(f) \), то есть на области определения функции. Сначала определим область определения: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть \( 16 — x^2 \geq 0 \). Это равносильно \( x^2 \leq 16 \), откуда следует, что \( x \in [-4, 4] \). Таким образом, область определения функции — отрезок \( [-4, 4] \).

Функция \( f(x) = \sqrt{16 — x^2} \) представляет собой верхнюю половину окружности радиусом 4 с центром в начале координат, так как \( 16 — x^2 = 16 \) при \( x = 0 \), и значение под корнем уменьшается при удалении от нуля. Максимальное значение корня достигается, когда выражение под корнем максимально, то есть при \( x = 0 \): \( f(0) = \sqrt{16 — 0^2} = \sqrt{16} = 4 \). На концах отрезка, при \( x = 4 \) и \( x = -4 \), значение функции равно \( f(4) = \sqrt{16 — 16} = 0 \) и \( f(-4) = \sqrt{16 — 16} = 0 \). Таким образом, максимум функции равен 4, а минимум — 0.

Ответ: \( \max f(x) = 4 \), \( \min f(x) = 0 \).