ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите \( \max f(x) \) и \( \min f(x) \), если:

1) \( f(x) = -x^2 — 8x — 3 \), \( M = \mathbb{R} \);

2) \( f(x) = \sqrt{2x — x^2} \), \( M = D(f) \).

1) Для функции \( f(x) = -x^2 — 8x — 3 \) на \( M = \mathbb{R} \): поскольку коэффициент при \( x^2 \) отрицательный (\( a = -1 < 0 \)), парабола направлена вниз. Координаты вершины: \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2(-1)} = 4 \), \( y_0 = f(4) = -16 — 32 — 3 = -51 + 32 = 13 \). Ответ: \( \max f(x) = 13 \), \( \min f(x) \) отсутствует (функция уходит в \( -\infty \)).

2) Для функции \( f(x) = \sqrt{2x — x^2} \) на \( M = D(f) \): область определения определяется из \( 2x — x^2 \geq 0 \), то есть \( x^2 — 2x \leq 0 \), \( x(x — 2) \leq 0 \), откуда \( x \in [0, 2] \). Подкоренное выражение \( 2x — x^2 = -(x^2 — 2x) = -( (x — 1)^2 — 1 ) = 1 — (x — 1)^2 \) достигает максимума при \( x = 1 \), где \( f(1) = \sqrt{1} = 1 \). На границах \( f(0) = f(2) = 0 \). Ответ: \( \max f(x) = 1 \), \( \min f(x) = 0 \).

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = -x^2 — 8x — 3 \) на множестве \( M = \mathbb{R} \). Эта функция представляет собой параболу, так как является квадратичной функцией вида \( f(x) = ax^2 + bx + c \), где \( a = -1 \), \( b = -8 \), \( c = -3 \). Поскольку коэффициент \( a = -1 < 0 \), ветви параболы направлены вниз, что означает, что функция имеет максимум в вершине параболы, а минимума на всей области \( \mathbb{R} \) не существует, так как значения функции стремятся к \( -\infty \) при \( x \to \pm\infty \).

Теперь найдём координаты вершины параболы. Абсцисса вершины определяется формулой \( x_0 = -\frac{b}{2a} \). Подставим значения: \( x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot (-1)} = \frac{8}{-2} = -4 \). Далее вычислим значение функции в этой точке, то есть ординату вершины: \( y_0 = f(-4) = -(-4)^2 — 8 \cdot (-4) — 3 = -16 + 32 — 3 = 13 \). Таким образом, вершина параболы имеет координаты \( (-4, 13) \), и максимальное значение функции равно \( 13 \).

Поскольку парабола направлена вниз, функция принимает все значения меньше или равные \( 13 \), и никакого минимального значения на \( \mathbb{R} \) нет. Итог: \( \max f(x) = 13 \), \( \min f(x) \) отсутствует.

2) Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{2x — x^2} \) на множестве \( M = D(f) \), где \( D(f) \) — область определения функции. Сначала определим область определения. Поскольку функция содержит квадратный корень, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 2x — x^2 \geq 0 \). Перепишем это неравенство как \( -x^2 + 2x \geq 0 \) или \( x^2 — 2x \leq 0 \). Факторизуем: \( x(x — 2) \leq 0 \). Решением этого неравенства является отрезок \( x \in [0, 2] \), так как на этом интервале произведение \( x(x — 2) \) неположительно. Таким образом, область определения функции \( D(f) = [0, 2] \).

Теперь перепишем подкоренное выражение для анализа: \( 2x — x^2 = -(x^2 — 2x) = -((x — 1)^2 — 1) = 1 — (x — 1)^2 \). Это выражение достигает максимума, когда \( (x — 1)^2 = 0 \), то есть при \( x = 1 \), и значение равно \( 1 \). Тогда \( f(1) = \sqrt{1} = 1 \). На границах области определения проверим значения функции: \( f(0) = \sqrt{2 \cdot 0 — 0^2} = \sqrt{0} = 0 \), \( f(2) = \sqrt{2 \cdot 2 — 2^2} = \sqrt{4 — 4} = \sqrt{0} = 0 \).

Поскольку подкоренное выражение \( 1 — (x — 1)^2 \) является параболой, направленной вниз, и принимает значения от \( 0 \) до \( 1 \), функция \( f(x) = \sqrt{1 — (x — 1)^2} \) возрастает от \( 0 \) до \( 1 \) на интервале \( [0, 1] \) и убывает от \( 1 \) до \( 0 \) на интервале \( [1, 2] \). Следовательно, максимальное значение функции равно \( 1 \) при \( x = 1 \), а минимальное значение равно \( 0 \) при \( x = 0 \) и \( x = 2 \). Итог: \( \max f(x) = 1 \), \( \min f(x) = 0 \).