ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите:

1) \( \min (|x — 1| + |x — 3|) \);

2) \( \max (|x + 2| — |x|) \);

3) \( \max \frac{1}{x^2 + 1} \).

1) Функция \( (|x — 1| + |x — 3|) \) выражает сумму расстояний от точки \( x \) до точек 1 и 3. Минимальное значение достигается на отрезке \( [1, 3] \), где сумма равна расстоянию между 1 и 3, то есть 2. Ответ: 2.

2) Функция \( (|x + 2| — |x|) \) принимает значение 2 при \( x \geq 0 \), что является максимумом, так как на других участках значения меньше или увеличиваются к 2. Ответ: 2.

3) Функция \( \frac{1}{x^2 + 1} \) достигает максимума при \( x = 0 \), где знаменатель минимален и равен 1, следовательно, значение функции равно 1. Ответ: 1.

1) Для нахождения минимума функции \( (|x — 1| + |x — 3|) \) необходимо рассмотреть поведение этой функции на различных участках числовой прямой, определяемых точками перегиба, где выражения внутри модулей меняют знак, то есть в точках \( x = 1 \) и \( x = 3 \). Разобьем область определения на три интервала: \( (-\infty, 1) \), \( [1, 3] \) и \( (3, +\infty) \).

На интервале \( x < 1 \) оба выражения внутри модулей отрицательны, поэтому \( |x — 1| = -(x — 1) = -x + 1 \) и \( |x — 3| = -(x — 3) = -x + 3 \). Тогда функция принимает вид \( y = (-x + 1) + (-x + 3) = -2x + 4 \). Это убывающая линейная функция.

На интервале \( 1 \leq x < 3 \) выражение \( x — 1 \) неотрицательно, а \( x — 3 \) отрицательно, поэтому \( |x — 1| = x — 1 \) и \( |x — 3| = -(x — 3) = -x + 3 \). Тогда функция равна \( y = (x — 1) + (-x + 3) = 2 \). Это константа.

На интервале \( x \geq 3 \) оба выражения внутри модулей неотрицательны, поэтому \( |x — 1| = x — 1 \) и \( |x — 3| = x — 3 \). Тогда функция принимает вид \( y = (x — 1) + (x — 3) = 2x — 4 \). Это возрастающая линейная функция.

Анализируя поведение функции, видим, что на интервале \( [1, 3] \) значение функции постоянно и равно 2, что является минимальным значением, так как слева функция убывает к большим значениям, а справа возрастает. Ответ: 2.

2) Для нахождения максимума функции \( (|x + 2| — |x|) \) рассмотрим поведение функции на интервалах, определяемых точками перегиба \( x = -2 \) и \( x = 0 \). Разобьем числовую прямую на интервалы: \( (-\infty, -2) \), \( [-2, 0) \) и \( [0, +\infty) \).

На интервале \( x < -2 \) оба выражения внутри модулей отрицательны, поэтому \( |x + 2| = -(x + 2) = -x — 2 \) и \( |x| = -x \). Тогда функция равна \( y = (-x — 2) — (-x) = -2 \). Это константа.

На интервале \( -2 \leq x < 0 \) выражение \( x + 2 \) неотрицательно, а \( x \) отрицательно, поэтому \( |x + 2| = x + 2 \) и \( |x| = -x \). Тогда функция принимает вид \( y = (x + 2) — (-x) = 2x + 2 \). Это возрастающая линейная функция.

На интервале \( x \geq 0 \) оба выражения внутри модулей неотрицательны, поэтому \( |x + 2| = x + 2 \) и \( |x| = x \). Тогда функция равна \( y = (x + 2) — x = 2 \). Это константа.

Анализируя поведение функции, видим, что на интервале \( x \geq 0 \) значение функции стабильно равно 2, что является максимальным значением, так как на интервале \( -2 \leq x < 0 \) функция возрастает к 2, а левее принимает меньшее значение. Ответ: 2.

3) Для нахождения максимума функции \( \frac{1}{x^2 + 1} \) рассмотрим ее поведение на всей числовой прямой. Поскольку знаменатель \( x^2 + 1 \) всегда положителен и минимален при \( x = 0 \), где он равен 1, функция будет максимальной, когда знаменатель минимален.

При \( x = 0 \) значение функции равно \( \frac{1}{0^2 + 1} = 1 \). Для проверки убывания и возрастания можно рассмотреть первую производную, но интуитивно понятно, что при увеличении \( |x| \) знаменатель растет, а значит, значение функции уменьшается.

Таким образом, наибольшее значение функции достигается в точке \( x = 0 \) и равно 1. Ответ: 1.