Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Функции \( f \) и \( g \) определены на множестве \( \mathbb{R} \). Возрастающей или убывающей является функция \( y = f(g(x)) \), если:
1) \( f \) и \( g \) — возрастающие функции;
2) \( f \) и \( g \) — убывающие функции?
1) Если \( f \) и \( g \) — возрастающие функции, то для \( x_2 > x_1 \) имеем \( g(x_2) > g(x_1) \), а поскольку \( f \) возрастающая, то \( f(g(x_2)) > f(g(x_1)) \). Таким образом, \( y = f(g(x)) \) — возрастающая функция.
2) Если \( f \) и \( g \) — убывающие функции, то для \( x_2 > x_1 \) имеем \( g(x_2) < g(x_1) \), а поскольку \( f \) убывающая, то \( f(g(x_2)) > f(g(x_1)) \). Таким образом, \( y = f(g(x)) \) — возрастающая функция.
1) Рассмотрим случай, когда функции \( f \) и \( g \) являются возрастающими на множестве \( \mathbb{R} \). Наша цель — определить, будет ли композиция \( y = f(g(x)) \) возрастающей или убывающей функцией.
Для этого возьмем две произвольные точки \( x_1 \) и \( x_2 \) из множества \( \mathbb{R} \), такие что \( x_2 > x_1 \). Поскольку функция \( g \) является возрастающей, из условия \( x_2 > x_1 \) следует, что \( g(x_2) > g(x_1) \).
Далее, так как функция \( f \) также является возрастающей, то при \( g(x_2) > g(x_1) \) выполняется неравенство \( f(g(x_2)) > f(g(x_1)) \). Это означает, что при увеличении аргумента \( x \) значение композиции \( y = f(g(x)) \) также увеличивается.
Таким образом, если обе функции \( f \) и \( g \) являются возрастающими, то их композиция \( y = f(g(x)) \) является возрастающей функцией.
2) Теперь рассмотрим случай, когда функции \( f \) и \( g \) являются убывающими на множестве \( \mathbb{R} \). Мы снова должны определить характер монотонности композиции \( y = f(g(x)) \).
Возьмем две точки \( x_1 \) и \( x_2 \) из множества \( \mathbb{R} \), такие что \( x_2 > x_1 \). Поскольку функция \( g \) является убывающей, из условия \( x_2 > x_1 \) следует, что \( g(x_2) < g(x_1) \).
Далее, так как функция \( f \) также является убывающей, то при \( g(x_2) < g(x_1) \) выполняется неравенство \( f(g(x_2)) > f(g(x_1)) \). Это означает, что при увеличении аргумента \( x \) значение композиции \( y = f(g(x)) \) увеличивается, несмотря на убывающий характер обеих функций.
Таким образом, если обе функции \( f \) и \( g \) являются убывающими, то их композиция \( y = f(g(x)) \) является возрастающей функцией.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.