ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Функции \( f \) и \( g \) определены на множестве \( \mathbb{R} \). Возрастающей или убывающей является функция \( y = f(g(x)) \), если:

1) \( f \) — возрастающая, \( g \) — убывающая;

2) \( f \) — убывающая, \( g \) — возрастающая?

1) Если \( f \) — возрастающая, а \( g \) — убывающая, то для \( x_2 > x_1 \) имеем \( g(x_2) < g(x_1) \), а поскольку \( f \) возрастающая, то \( f(g(x_2)) < f(g(x_1)) \). Значит, \( y = f(g(x)) \) — убывающая.

2) Если \( f \) — убывающая, а \( g \) — возрастающая, то для \( x_2 > x_1 \) имеем \( g(x_2) > g(x_1) \), а поскольку \( f \) убывающая, то \( f(g(x_2)) < f(g(x_1)) \). Значит, \( y = f(g(x)) \) — убывающая.

1) Рассмотрим случай, когда функция \( f \) является возрастающей, а функция \( g \) — убывающей. Нам нужно определить, будет ли композиция \( y = f(g(x)) \) возрастающей или убывающей на множестве \( \mathbb{R} \).

Для этого возьмем две произвольные точки \( x_1 \) и \( x_2 \) такие, что \( x_2 > x_1 \). Поскольку функция \( g \) убывающая, из условия \( x_2 > x_1 \) следует, что \( g(x_2) < g(x_1) \). Это означает, что при увеличении аргумента значение функции \( g \) уменьшается.

Теперь применим к этим значениям функцию \( f \), которая является возрастающей. Так как \( g(x_2) < g(x_1) \), а \( f \) сохраняет порядок значений, то \( f(g(x_2)) < f(g(x_1)) \). Это показывает, что при увеличении \( x \) значение композиции \( f(g(x)) \) уменьшается.

Таким образом, если \( x_2 > x_1 \), то \( f(g(x_2)) < f(g(x_1)) \), что соответствует определению убывающей функции. Следовательно, в данном случае функция \( y = f(g(x)) \) является убывающей.

2) Теперь рассмотрим второй случай, когда функция \( f \) является убывающей, а функция \( g \) — возрастающей. Снова нужно определить характер монотонности композиции \( y = f(g(x)) \).

Возьмем две точки \( x_1 \) и \( x_2 \), где \( x_2 > x_1 \). Поскольку \( g \) является возрастающей функцией, из условия \( x_2 > x_1 \) следует, что \( g(x_2) > g(x_1) \). Это означает, что при увеличении аргумента значение функции \( g \) также увеличивается.

Далее применим функцию \( f \), которая является убывающей. Так как \( g(x_2) > g(x_1) \), а \( f \) меняет порядок значений на противоположный, то \( f(g(x_2)) < f(g(x_1)) \). Это указывает на то, что при увеличении \( x \) значение композиции \( f(g(x)) \) уменьшается.

Таким образом, если \( x_2 > x_1 \), то \( f(g(x_2)) < f(g(x_1)) \), что опять соответствует определению убывающей функции. Следовательно, и в этом случае функция \( y = f(g(x)) \) является убывающей.

Итак, в обоих случаях — когда \( f \) возрастающая, а \( g \) убывающая, и когда \( f \) убывающая, а \( g \) возрастающая — композиция \( y = f(g(x)) \) оказывается убывающей функцией. Это объясняется тем, что в каждом из случаев одна из функций меняет порядок значений на противоположный, что в результате приводит к убыванию итоговой композиции.