ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) функция \( y = x |x — a| \) является возрастающей?

Для определения значений параметра \( a \), при которых функция \( y = x |x — a| \) является возрастающей, необходимо, чтобы производная функции была неотрицательной для всех \( x \). Рассмотрим функцию по частям: для \( x < a \) функция принимает вид \( y = x (a — x) = ax — x^2 \), а для \( x \geq a \) — \( y = x (x — a) = x^2 — ax \). Вычислим производные: в первом случае \( y’ = a — 2x \), во втором — \( y’ = 2x — a \). Для возрастающей функции требуется \( y’ \geq 0 \). Анализируя оба случая и точку \( x = a \), приходим к выводу, что функция возрастает при \( a \leq 0 \).

Ответ: \( a \leq 0 \)

1) Для определения значений параметра \( a \), при которых функция \( y = x |x — a| \) является возрастающей, необходимо проанализировать поведение функции на всей числовой прямой. Функция считается возрастающей, если для любых \( x_1 < x_2 \) выполняется \( y(x_1) \leq y(x_2) \), что эквивалентно неотрицательности производной \( y'(x) \geq 0 \) везде, где она определена.

2) Сначала рассмотрим функцию с учетом модуля. Точка \( x = a \) разделяет область определения на два интервала. Для \( x < a \) выражение \( |x — a| = a — x \), поэтому функция принимает вид \( y = x (a — x) = ax — x^2 \). Для \( x \geq a \) выражение \( |x — a| = x — a \), и функция становится \( y = x (x — a) = x^2 — ax \).

3) Вычислим производную функции на каждом из интервалов. Для \( x < a \) имеем \( y = ax — x^2 \), следовательно, \( y’ = a — 2x \). Для \( x > a \) имеем \( y = x^2 — ax \), следовательно, \( y’ = 2x — a \). В точке \( x = a \) производная может не существовать из-за возможного излома графика, поэтому эту точку рассмотрим отдельно.

4) Для того чтобы функция была возрастающей, необходимо, чтобы производная была неотрицательной на соответствующих интервалах. На интервале \( x < a \) требуем \( a — 2x \geq 0 \), что эквивалентно \( x \leq \frac{a}{2} \). На интервале \( x > a \) требуем \( 2x — a \geq 0 \), что эквивалентно \( x \geq \frac{a}{2} \).

5) Теперь объединим условия. На интервале \( x < a \) производная неотрицательна при \( x \leq \frac{a}{2} \), но поскольку \( x < a \), нужно учитывать пересечение условий. На интервале \( x > a \) производная неотрицательна при \( x \geq \frac{a}{2} \), что также требует анализа в зависимости от значения \( a \).

6) Рассмотрим поведение функции в окрестности точки \( x = a \). Для этого проверим значения производной слева и справа от \( x = a \). Слева, при \( x \to a^- \), производная \( y’ = a — 2x \to a — 2a = -a \). Справа, при \( x \to a^+ \), производная \( y’ = 2x — a \to 2a — a = a \). Для непрерывного возрастания необходимо, чтобы производная не меняла знак на отрицательный, то есть \( -a \geq 0 \) слева и \( a \geq 0 \) справа, что выполняется только при \( a = 0 \). Однако это условие слишком строгое, так как функция может быть возрастающей и при других значениях \( a \), если производная неотрицательна на всем интервале.

7) Проанализируем критические точки. Производная меняет знак в точке \( x = \frac{a}{2} \). Если \( a > 0 \), то \( \frac{a}{2} > 0 \), и на интервале \( x < a \) производная положительна при \( x < \frac{a}{2} \), а отрицательна при \( \frac{a}{2} < x < a \), что означает убывание функции на этом участке. Следовательно, при \( a > 0 \) функция не является возрастающей.

8) Если \( a \leq 0 \), то \( \frac{a}{2} \leq 0 \). На интервале \( x < a \leq 0 \) точка \( x = \frac{a}{2} \leq 0 \) находится левее или совпадает с \( x = a \), но поскольку \( x < a \), проверяем: для \( x < a \), так как \( a \leq 0 \), а \( x \) может быть меньше, производная \( a — 2x \) при \( a \leq 0 \) и \( x < a \leq 0 \) будет \( a — 2x \geq a — 2a = -a \geq 0 \), то есть неотрицательна. На интервале \( x > a \), так как \( a \leq 0 \), а \( x > a \), то \( x \geq \frac{a}{2} \), поскольку \( \frac{a}{2} \leq 0 < x \), и производная \( 2x — a > 0 \).

9) Таким образом, при \( a \leq 0 \) производная неотрицательна на всем интервале \( x < a \) и \( x > a \), а в точке \( x = a \) функция непрерывна, и значения слева и справа подтверждают возрастание. Следовательно, функция является возрастающей при \( a \leq 0 \).

10) Ответ: функция \( y = x |x — a| \) является возрастающей при \( a \leq 0 \).