ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) функция \( y = (x — 1)(x — a)^2 \) является возрастающей?

Для определения значений параметра \( a \), при которых функция \( y = (x — 1)(x — a)^2 \) является возрастающей, нужно, чтобы её производная была неотрицательной для всех \( x \). Вычислим производную: \( y’ = (x — a)^2 + 2(x — 1)(x — a) \). Приведём к виду: \( y’ = 3(x^2 — 2ax + a^2) — 2x + 2 = 3x^2 — (6a + 2)x + (3a^2 + 2) \). Это парабола, открытая вверх, и для её неотрицательности дискриминант должен быть неположительным: \( D = (6a + 2)^2 — 12(3a^2 + 2) = 36a^2 + 24a + 4 — 36a^2 — 24 = 24a — 20 \). Условие \( D \leq 0 \) даёт \( 24a — 20 \leq 0 \), то есть \( a \leq \frac{5}{6} \). Ответ: \( a \leq \frac{5}{6} \).

1. Для определения значений параметра \( a \), при которых функция \( y = (x — 1)(x — a)^2 \) является возрастающей на всей числовой прямой, необходимо, чтобы её первая производная была неотрицательной для всех значений \( x \). Это означает, что функция не должна иметь участков убывания, и её график должен либо расти, либо оставаться постоянным на некоторых интервалах, но без спада.

2. Начнём с вычисления первой производной функции \( y = (x — 1)(x — a)^2 \). Раскроем выражение для удобства: \( y = (x — 1)(x^2 — 2ax + a^2) = x^3 — 2ax^2 + a^2 x — x^2 + 2ax — a^2 =\)
\(= x^3 — (2a + 1)x^2 + (a^2 + 2a)x — a^2 \). Теперь найдём производную по \( x \): \( y’ = 3x^2 — 2(2a + 1)x + (a^2 + 2a) \), что можно записать как \( y’ = 3x^2 — (4a + 2)x + (a^2 + 2a) \).

3. Производная \( y’ = 3x^2 — (4a + 2)x + (a^2 + 2a) \) представляет собой квадратичную функцию относительно \( x \), и её график — парабола, открытая вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) равен 3, что больше нуля. Для того чтобы функция \( y \) была возрастающей, необходимо, чтобы \( y’ \geq 0 \) для всех \( x \), то есть парабола либо касалась оси \( x \) в одной точке, либо лежала полностью выше оси \( x \).

4. Условие \( y’ \geq 0 \) для всех \( x \) эквивалентно тому, что дискриминант квадратичной функции \( y’ \) должен быть неположительным, то есть \( D \leq 0 \). Вычислим дискриминант: \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 3 \), \( b = -(4a + 2) \), \( c = a^2 + 2a \). Тогда \( D = (4a + 2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (a^2 + 2a) = 16a^2 + 16a + 4 — 12a^2 — 24a=\)
\( = 4a^2 — 8a + 4 \).

5. Упростим выражение для дискриминанта: \( D = 4a^2 — 8a + 4 = 4(a^2 — 2a + 1) = 4(a — 1)^2 \). Теперь решим неравенство \( D \leq 0 \), то есть \( 4(a — 1)^2 \leq 0 \). Поскольку \( 4 > 0 \), а \( (a — 1)^2 \geq 0 \) для всех \( a \), неравенство \( 4(a — 1)^2 \leq 0 \) выполняется только при \( (a — 1)^2 = 0 \), то есть при \( a = 1 \).

6. Проверим значение \( a = 1 \). Подставим \( a = 1 \) в производную: \( y’ = 3x^2 — (4 \cdot 1 + 2)x + (1^2 + 2 \cdot 1) = 3x^2 — 6x + 3 = 3(x^2 — 2x + 1)=\)
\( = 3(x — 1)^2 \). Видно, что \( y’ = 3(x — 1)^2 \geq 0 \) для всех \( x \), причём равно нулю только в точке \( x = 1 \), что означает, что функция возрастает на всей числовой прямой (в точке \( x = 1 \) производная равна нулю, но это не нарушает возрастания).

7. Рассмотрим значения \( a \neq 1 \). Если \( a \neq 1 \), то \( D = 4(a — 1)^2 > 0 \), что означает, что производная \( y’ \) имеет два различных корня, и парабола пересекает ось \( x \). Поскольку парабола открыта вверх, между корнями производная будет отрицательной, что указывает на участок убывания функции \( y \), а значит, функция не является возрастающей на всей числовой прямой.

8. Таким образом, единственное значение параметра \( a \), при котором функция \( y = (x — 1)(x — a)^2 \) является возрастающей, — это \( a = 1 \). При этом значении производная неотрицательна для всех \( x \), что удовлетворяет условию возрастания.

9. Дополнительно отметим, что при \( a = 1 \) функция принимает вид \( y = (x — 1)(x — 1)^2 = (x — 1)^3 \), и её производная \( y’ = 3(x — 1)^2 \geq 0 \), что подтверждает возрастание функции на всей области определения.

10. Ответ: функция \( y = (x — 1)(x — a)^2 \) является возрастающей при \( a = 1 \).