ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) функция \( y = |x — a| \) возрастает на промежутке \( [2; +\infty) \)?

Функция \( y = |x — a| \) возрастает на промежутке \( [2; +\infty) \), если для любых \( x_1 < x_2 \) из этого промежутка выполняется \( y(x_1) < y(x_2) \). Это происходит, когда точка \( x = a \) находится левее или на границе начала интервала, то есть \( a \leq 2 \). Таким образом, функция возрастает на указанном промежутке при \( a \leq 2 \).

1) Рассмотрим поведение функции \( y = |x — a| \) на промежутке \( [2; +\infty) \). Функция модуля \( y = |x — a| \) имеет точку перегиба в \( x = a \), где меняется ее поведение. До точки \( x = a \) функция убывает (если рассматривать слева направо), а после точки \( x = a \) она возрастает. Чтобы функция возрастала на всем промежутке \( [2; +\infty) \), точка перегиба \( x = a \) должна находиться не правее начала интервала, то есть \( a \leq 2 \).

2) Проверим это утверждение. Пусть \( x_1 < x_2 \), и оба значения принадлежат промежутку \( [2; +\infty) \). Рассмотрим случай, когда \( x_1 \geq a \) и \( x_2 \geq a \). Тогда \( y(x_2) - y(x_1) = |x_2 - a| - |x_1 - a| = (x_2 - a) - (x_1 - a) = x_2 - x_1 > 0 \), что означает \( y(x_2) > y(x_1) \), то есть функция возрастает.

3) Если же \( x_1 < a < x_2 \), то поведение функции может быть различным в зависимости от положения \( a \). Однако, поскольку нас интересует промежуток \( [2; +\infty) \), и мы хотим, чтобы функция возрастала на всем этом промежутке, необходимо, чтобы точка \( a \) не попадала внутрь интервала правее 2. Таким образом, функция возрастает на \( [2; +\infty) \), если \( a \leq 2 \). 4) Ответ: функция \( y = |x - a| \) возрастает на промежутке \( [2; +\infty) \) при \( a \leq 2 \).