ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) функция \( y = |x + a| \) убывает на промежутке \( (-\infty; -1] \)?

Для функции \( y = |x + a| \) убывание на промежутке \( (-\infty; -1] \) означает, что при \( x_2 > x_1 \) в этом промежутке должно выполняться \( y(x_2) \leq y(x_1) \). Функция \( y = |x + a| \) имеет точку перегиба в \( x = -a \). На промежутке \( (-\infty; -a) \) функция убывает, так как \( y = -(x + a) \), а на \( (-a; +\infty) \) возрастает, так как \( y = x + a \). Чтобы функция убывала на \( (-\infty; -1] \), точка \( x = -a \) должна быть правее или равна \( -1 \), то есть \( -a \geq -1 \), что дает \( a \leq 1 \). Ответ: \( a \leq 1 \).

1) Рассмотрим функцию \( y = |x + a| \) и определим, при каких значениях параметра \( a \) она убывает на промежутке \( (-\infty; -1] \). Функция убывает, если для любых \( x_1 < x_2 \) из указанного промежутка выполняется \( y(x_2) \leq y(x_1) \). Абсолютное значение \( |x + a| \) меняет свое поведение в точке \( x = -a \), поэтому важно учитывать положение этой точки относительно промежутка \( (-\infty; -1] \). 2) Разберем поведение функции в зависимости от значений \( x \) и \( a \). Если точка \( x = -a \) находится правее или на границе промежутка \( (-\infty; -1] \), то есть \( -a \geq -1 \), что эквивалентно \( a \leq 1 \), то на всем промежутке \( (-\infty; -1] \) значения \( x \) будут меньше или равны \( -a \). В этом случае \( x + a \leq 0 \), и функция принимает вид \( y = -(x + a) = -x - a \), которая является линейной и убывающей, так как коэффициент при \( x \) отрицательный. 3) Проверим это условие. Пусть \( x_1 < x_2 \leq -1 \), и \( x_2 \leq -a \). Тогда \( y(x_2) - y(x_1) = (-x_2 - a) - (-x_1 - a) = -x_2 + x_1 = -(x_2 - x_1) \). Поскольку \( x_2 > x_1 \), то \( x_2 — x_1 > 0 \), а значит \( y(x_2) — y(x_1) < 0 \), то есть \( y(x_2) < y(x_1) \), что подтверждает убывание функции. 4) Если же \( a > 1 \), то точка \( x = -a < -1 \), и на промежутке \( (-\infty; -1] \) есть часть, где \( x > -a \). В этой части функция принимает вид \( y = x + a \), которая является возрастающей. Например, для \( x_1 = -a — 1 < -a \) и \( x_2 = -1 > -a \) получим \( y(x_1) = -x_1 — a = -(-a — 1) — a = a + 1 — a = 1 \), а \( y(x_2) = -1 + a \). Так как \( a > 1 \), то \( y(x_2) = a — 1 > 0 \), и \( y(x_2) > y(x_1) \), что противоречит условию убывания.

5) Таким образом, функция \( y = |x + a| \) убывает на промежутке \( (-\infty; -1] \) только в том случае, если точка перегиба \( x = -a \) находится не левее \( x = -1 \), то есть при \( a \leq 1 \). Ответ: \( a \leq 1 \).