ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:
1) \( x^5 + x^3 + x = -3 \);
2) \( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 13} = 9 \);
3) \( x^3 + 2x\sqrt{x — 1} = 12 \).

1) Для уравнения \( x^5 + x^3 + x = -3 \) функция \( y = x^5 + x^3 + x \) возрастает на \( \mathbb{R} \), так как все слагаемые — нечетные степени, возрастающие функции. Проверяем \( x = -1 \): \( (-1)^5 + (-1)^3 + (-1) = -1 -1 -1 = -3 \). Ответ: \( x = -1 \).

2) Для уравнения \( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 13} = 9 \) функция \( y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 13} \) возрастает на \( x \geq -1 \), так как каждая из корневых функций возрастает. Проверяем \( x = 3 \): \( \sqrt{3 + 1} + \sqrt{3 + 6} + \sqrt{3 + 13} = \sqrt{4} + \sqrt{9} + \sqrt{16} = 2 + 3 + 4 = 9 \). Ответ: \( x = 3 \).

3) Для уравнения \( x^3 + 2x\sqrt{x — 1} = 12 \) функция \( y = x^3 + 2x\sqrt{x — 1} \) возрастает на \( x \geq 1 \), так как \( x^3 \) и \( 2x\sqrt{x — 1} \) (произведение возрастающих функций) возрастают. Проверяем \( x = 2 \): \( 2^3 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2 — 1} = 8 + 4 \cdot 1 = 8 + 4 = 12 \). Ответ: \( x = 2 \).

1) Рассмотрим уравнение \( x^5 + x^3 + x = -3 \). Для начала проанализируем поведение функции \( y = x^5 + x^3 + x \), которая является суммой трех функций: \( f(x) = x^5 \), \( g(x) = x^3 \) и \( h(x) = x \). Все эти функции являются нечетными и возрастающими на всем множестве действительных чисел \( \mathbb{R} \), так как их производные \( f'(x) = 5x^4 \geq 0 \), \( g'(x) = 3x^2 \geq 0 \) и \( h'(x) = 1 > 0 \) неотрицательны для всех \( x \), причем хотя бы одна из них положительна при \( x \neq 0 \).

Таким образом, сумма \( y = x^5 + x^3 + x \) также является строго возрастающей функцией на \( \mathbb{R} \). Это означает, что уравнение \( y = -3 \) может иметь не более одного решения, так как график возрастающей функции пересекает любую горизонтальную прямую не более одного раза.

Теперь подберем значение \( x \), при котором выполняется равенство. Попробуем \( x = -1 \): \( y(-1) = (-1)^5 + (-1)^3 + (-1) = -1 — 1 — 1 = -3 \). Мы получили, что \( y(-1) = -3 \), то есть \( x = -1 \) является решением уравнения.

Поскольку функция строго возрастает, других решений быть не может. Для проверки рассмотрим значения функции в других точках. Например, при \( x = 0 \): \( y(0) = 0^5 + 0^3 + 0 = 0 > -3 \), а при \( x = -2 \): \( y(-2) = (-2)^5 + (-2)^3 + (-2) = -32 — 8 — 2 = -42 < -3 \). Таким образом, значение функции меняется от меньших к большим значениям, подтверждая, что \( x = -1 \) — единственное решение. Ответ: \( x = -1 \). 2) Перейдем к уравнению \( \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 13} = 9 \). Сначала определим область определения функции. Поскольку под корнем должны быть неотрицательные выражения, то \( x + 1 \geq 0 \), \( x + 6 \geq 0 \) и \( x + 13 \geq 0 \). Наиболее строгое условие — \( x + 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq -1 \). Таким образом, область определения: \( x \geq -1 \). Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 13} \). Каждая из слагаемых функций \( f(x) = \sqrt{x + 1} \), \( g(x) = \sqrt{x + 6} \) и \( h(x) = \sqrt{x + 13} \) является возрастающей на \( x \geq -1 \), так как производные \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}} > 0 \), \( g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 6}} > 0 \), \( h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 13}} > 0 \) для всех \( x > -1 \). Следовательно, их сумма \( y \) также строго возрастает на \( x \geq -1 \).

Поскольку функция строго возрастает, уравнение \( y = 9 \) имеет не более одного решения. Попробуем подобрать значение \( x \). Пусть \( x = 3 \): \( y(3) = \sqrt{3 + 1} + \sqrt{3 + 6} + \sqrt{3 + 13} = \sqrt{4} + \sqrt{9} + \sqrt{16} = 2 + 3 + 4 = 9 \). Мы нашли, что \( y(3) = 9 \), то есть \( x = 3 \) — решение уравнения.

Чтобы убедиться, что других решений нет, проверим значения функции на границах. При \( x = -1 \): \( y(-1) = \sqrt{-1 + 1} + \sqrt{-1 + 6} + \sqrt{-1 + 13} = 0 + \sqrt{5} + \sqrt{12} \approx 0 + 2.236 + 3.464 \approx 5.7 < 9 \). При \( x = 8 \): \( y(8) = \sqrt{9} + \sqrt{14} + \sqrt{21} \approx 3 + 3.742 + 4.583 \approx 11.325 > 9 \). Функция возрастает от значений меньше 9 до значений больше 9, подтверждая единственность решения. Ответ: \( x = 3 \).

3) Рассмотрим уравнение \( x^3 + 2x\sqrt{x — 1} = 12 \). Сначала определим область определения. Под корнем должно быть неотрицательное выражение: \( x — 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq 1 \). Таким образом, область определения: \( x \geq 1 \).

Рассмотрим функцию \( y = x^3 + 2x\sqrt{x — 1} \). Представим ее как сумму двух функций: \( f(x) = x^3 \) и \( u(x) = 2x\sqrt{x — 1} \). Функция \( f(x) = x^3 \) возрастает на \( \mathbb{R} \), так как \( f'(x) = 3x^2 \geq 0 \), причем строго больше 0 при \( x \neq 0 \). Функция \( u(x) = 2x\sqrt{x — 1} \) является произведением двух функций: \( g(x) = 2x \) и \( h(x) = \sqrt{x — 1} \), которые обе возрастают на \( x \geq 1 \), так как \( g'(x) = 2 > 0 \), \( h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x — 1}} > 0 \), и сами функции неотрицательны. Произведение двух возрастающих неотрицательных функций также возрастает.

Таким образом, \( y = f(x) + u(x) \) строго возрастает на \( x \geq 1 \), и уравнение \( y = 12 \) имеет не более одного решения. Подберем значение \( x \). Пусть \( x = 2 \): \( y(2) = 2^3 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2 — 1} = 8 + 4 \cdot \sqrt{1} = 8 + 4 = 12 \). Мы нашли, что \( y(2) = 12 \), то есть \( x = 2 \) — решение уравнения.

Для проверки рассмотрим другие значения. При \( x = 1 \): \( y(1) = 1^3 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1 — 1} = 1 + 2 \cdot 0 = 1 < 12 \). При \( x = 3 \): \( y(3) = 3^3 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3 - 1} = 27 + 6 \cdot \sqrt{2} \approx 27 + 8.485 \approx 35.485 > 12 \). Функция возрастает от значений меньше 12 до значений больше 12, подтверждая единственность решения. Ответ: \( x = 2 \).