ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:
1) \( 2x^7 + x^5 + x = 4 \);
2) \( 2\sqrt{x} + \sqrt{x — 5} + 2x + 7 = 13 \);
3) \( 4x^3 + 3x\sqrt{4x — 1} = 2 \).

1) Для уравнения \( 2x^7 + x^5 + x = 4 \) функции \( f(x) = 2x^7 \), \( g(x) = x^5 \), \( h(x) = x \) возрастают на множестве \( \mathbb{R} \). Суммарная функция \( y = 2x^7 + x^5 + x \) также возрастает, значит, решение единственно. Подставим \( x = 1 \): \( y(1) = 2 \cdot 1^7 + 1^5 + 1 = 2 + 1 + 1 = 4 \). Ответ: \( 1 \).

2) Для уравнения \( 2\sqrt{x} + \sqrt{x — 5} + 2x + 7 = 13 \) функции \( f(x) = 2\sqrt{x} \), \( g(x) = \sqrt{x — 5} \), \( h(x) = 2x + 7 \) возрастают на \( [5; +\infty) \). Суммарная функция \( y = 2\sqrt{x} + \sqrt{x — 5} + 2x + 7 \) возрастает, решение единственно. Подставим \( x = 9 \): \( y(9) = 2\sqrt{9} + \sqrt{9 — 5} + 2 \cdot 9 + 7 = 2 \cdot 3 + 2 + 18 + 7 = 6 + 2 + 25 = 33 \), но в условии указано \( 13 \), видимо ошибка в тексте, проверка дает \( 2 \cdot 3 + 2 + 5 = 13 \) при корректировке \( h(x) = \sqrt{2x + 7} \). Ответ: \( 9 \).

3) Для уравнения \( 4x^3 + 3x\sqrt{4x — 1} = 2 \) функции \( f(x) = 4x^3 \), \( g(x) = 3x \), \( h(x) = \sqrt{4x — 1} \) возрастают на \( [0.25; +\infty) \). Суммарная функция возрастает, решение единственно. Подставим \( x = 0.5 \): \( y(0.5) = 4 \cdot (0.5)^3 + 3 \cdot 0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot 0.5 — 1} = 4 \cdot 0.125 + 1.5 \cdot \sqrt{2 — 1} =\)
\(= 0.5 + 1.5 \cdot 1 = 2 \). Ответ: \( 0.5 \).

1) Рассмотрим уравнение \( 2x^7 + x^5 + x = 4 \). Для начала проанализируем поведение функции \( y(x) = 2x^7 + x^5 + x \). Каждая из составляющих функций \( f(x) = 2x^7 \), \( g(x) = x^5 \) и \( h(x) = x \) является возрастающей на множестве всех действительных чисел \( \mathbb{R} \), так как их производные \( f'(x) = 14x^6 \geq 0 \), \( g'(x) = 5x^4 \geq 0 \) и \( h'(x) = 1 > 0 \) неотрицательны (или положительны) для всех \( x \). Следовательно, сумма этих функций \( y(x) \) также является строго возрастающей на \( \mathbb{R} \), что гарантирует существование не более одного решения уравнения \( y(x) = 4 \).

Теперь попробуем найти это решение методом подбора. Подставим значение \( x = 1 \): \( y(1) = 2 \cdot 1^7 + 1^5 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 = 4 \). Мы получили точное совпадение с правой частью уравнения, значит, \( x = 1 \) является решением. Поскольку функция возрастающая, других решений быть не может. Ответ: \( 1 \).

2) Перейдем к уравнению \( 2\sqrt{x} + \sqrt{x — 5} + \sqrt{2x + 7} = 13 \). Сначала определим область определения функции. Поскольку под корнем должны быть неотрицательные выражения, имеем: для \( \sqrt{x} \) требуется \( x \geq 0 \), для \( \sqrt{x — 5} \) — \( x \geq 5 \), для \( \sqrt{2x + 7} \) — \( 2x + 7 \geq 0 \), то есть \( x \geq -\frac{7}{2} \). Наиболее строгое условие — \( x \geq 5 \), поэтому область определения: \( x \in [5; +\infty) \).

Проанализируем поведение функции \( y(x) = 2\sqrt{x} + \sqrt{x — 5} + \sqrt{2x + 7} \). Каждая из функций \( f(x) = 2\sqrt{x} \), \( g(x) = \sqrt{x — 5} \) и \( h(x) = \sqrt{2x + 7} \) возрастает на области определения, так как их производные \( f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} > 0 \), \( g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x — 5}} > 0 \), \( h'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x + 7}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 7}} > 0 \) положительны при \( x > 5 \). Следовательно, \( y(x) \) строго возрастает на \( [5; +\infty) \), и уравнение имеет не более одного решения.

Подберем значение \( x \). Попробуем \( x = 9 \): \( y(9) = 2\sqrt{9} + \sqrt{9 — 5} + \sqrt{2 \cdot 9 + 7} = 2 \cdot 3 + \sqrt{4} +\)
\(+ \sqrt{18 + 7} = 6 + 2 + \sqrt{25} = 6 + 2 + 5 = 13 \). Значение совпадает с правой частью, значит, \( x = 9 \) — решение. Учитывая монотонность, других решений нет. Ответ: \( 9 \).

3) Рассмотрим уравнение \( 4x^3 + 3x\sqrt{4x — 1} = 2 \). Определим область определения. Для \( \sqrt{4x — 1} \) нужно \( 4x — 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq \frac{1}{4} \). Таким образом, область определения: \( x \in [\frac{1}{4}; +\infty) \).

Проанализируем функцию \( y(x) = 4x^3 + 3x\sqrt{4x — 1} \). Разобьем на части: \( f(x) = 4x^3 \) и \( u(x) = 3x\sqrt{4x — 1} \). Производная \( f'(x) = 12x^2 > 0 \) при \( x > 0 \). Для \( u(x) \) вычислим производную: представим \( u(x) = 3x \cdot (4x — 1)^{\frac{1}{2}} \), тогда \( u'(x) = 3 \cdot (4x — 1)^{\frac{1}{2}} + 3x \cdot \frac{1}{2} \cdot (4x — 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 4 = 3\sqrt{4x — 1} + \frac{6x}{\sqrt{4x — 1}} \). Оба слагаемых положительны при \( x > \frac{1}{4} \), значит, \( u'(x) > 0 \), и \( y(x) \) возрастает на \( [\frac{1}{4}; +\infty) \). Уравнение имеет не более одного решения.

Подберем значение \( x \). Попробуем \( x = 0.5 \): \( y(0.5) = 4 \cdot (0.5)^3 + 3 \cdot 0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot 0.5 — 1} = 4 \cdot 0.125 + 1.5 \cdot \sqrt{2 — 1}=\)
\( = 0.5 + 1.5 \cdot 1 = 0.5 + 1.5 = 2 \). Значение совпадает с правой частью, значит, \( x = 0.5 \) — решение. Учитывая монотонность, других решений нет. Ответ: \( 0.5 \).