ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:
1) \( \sqrt{x} + \sqrt{x — 5} = 23 — 2x \);
2) \( x^6 + \sqrt{x} = 2x \).

1) Для уравнения \( \sqrt{x} + \sqrt{x — 5} = 23 — 2x \) определяем область определения: \( x \geq 5 \). Проверяем значение \( x = 9 \): левая часть \( \sqrt{9} + \sqrt{9 — 5} = 3 + 2 = 5 \), правая часть \( 23 — 2 \cdot 9 = 23 — 18 = 5 \). Значения совпадают, и поскольку левая часть возрастает, а правая убывает на \( [5, +\infty) \), решение единственное. Ответ: \( 9 \).

2) Для уравнения \( x^6 + \sqrt{x} = 2x \) область определения \( x \geq 0 \). Проверяем значение \( x = 1 \): левая часть \( 1^6 + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2 \), правая часть \( 2 \cdot 1 = 2 \). Значения совпадают. Так как левая часть возрастает быстрее правой на \( (0, +\infty) \), решение единственное. Ответ:

1) Рассмотрим уравнение \( \sqrt{x} + \sqrt{x — 5} = 23 — 2x \). Первым шагом определим область определения. Поскольку под корнем должны быть неотрицательные выражения, то \( x \geq 0 \) и \( x — 5 \geq 0 \), что приводит к \( x \geq 5 \). Таким образом, область определения уравнения — \( x \geq 5 \).

Теперь проанализируем поведение функций. Левая часть уравнения \( \sqrt{x} + \sqrt{x — 5} \) является суммой двух возрастающих функций на интервале \( [5, +\infty) \), так как производные \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) и \( \frac{1}{2\sqrt{x — 5}} \) положительны при \( x > 5 \). Следовательно, левая часть возрастает на \( [5, +\infty) \).

Правая часть уравнения \( 23 — 2x \) является линейной функцией с отрицательным коэффициентом при \( x \), а именно \( -2 \), что указывает на то, что она убывает на всей области определения, включая \( [5, +\infty) \).

Поскольку левая часть возрастает, а правая убывает, их разность \( (\sqrt{x} + \sqrt{x — 5}) — (23 — 2x) \) является возрастающей функцией. Это означает, что уравнение может иметь не более одного решения на интервале \( [5, +\infty) \), так как точка пересечения может быть только одна.

Проверим значение \( x = 9 \). Подставим в левую часть: \( \sqrt{9} + \sqrt{9 — 5} = 3 + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5 \). Теперь правая часть: \( 23 — 2 \cdot 9 = 23 — 18 = 5 \). Значения совпадают, значит, \( x = 9 \) является решением уравнения. Учитывая монотонность функций, других решений быть не может. Ответ: \( 9 \).

2) Рассмотрим уравнение \( x^3 + \sqrt{x} = 2 \). Определим область определения. Поскольку под корнем должно быть неотрицательное выражение, то \( x \geq 0 \). Таким образом, область определения — \( x \geq 0 \).

Проанализируем поведение функций. Левая часть уравнения \( x^3 + \sqrt{x} \) состоит из двух функций. Функция \( x^3 \) возрастает на \( (-\infty, +\infty) \), так как её производная \( 3x^2 \geq 0 \) для всех \( x \), а функция \( \sqrt{x} \) возрастает на \( [0, +\infty) \), так как её производная \( \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0 \) при \( x > 0 \). Сумма двух возрастающих функций также возрастает, значит, левая часть возрастает на \( [0, +\infty) \).

Правая часть уравнения — константа \( 2 \), которая не изменяется с изменением \( x \). Разность \( (x^3 + \sqrt{x}) — 2 \) является возрастающей функцией на \( [0, +\infty) \), что указывает на возможность только одного решения, если оно существует.

Проверим значение \( x = 1 \). Подставим в левую часть: \( 1^3 + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2 \). Правая часть: \( 2 \). Значения совпадают, значит, \( x = 1 \) является решением. Учитывая, что левая часть возрастает, других точек пересечения с константой \( 2 \) быть не может. Ответ: \( 1 \).