ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.39 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \( |x + 1| — |x| = \sqrt{x^4 + 1} \).

Для решения уравнения \( |x + 1| — |x| = \sqrt{x^4 + 1} \) рассмотрим поведение функций слева и справа. Функция \( |x + 1| — |x| \) принимает значения: \(-1\) при \( x < -1 \), \( 2x + 1 \) при \( -1 \leq x < 0 \), и \( 1 \) при \( x \geq 0 \). Функция \( \sqrt{x^4 + 1} \) всегда больше или равна \( 1 \), достигая минимума \( 1 \) при \( x = 0 \). Сравнивая значения, видим, что равенство возможно только при \( x \geq 0 \), где левая часть равна \( 1 \). При \( x = 0 \): \( |0 + 1| - |0| = 1 \), а \( \sqrt{0^4 + 1} = 1 \), что совпадает. При \( x > 0 \) правая часть растет, а левая остается \( 1 \), так что других решений нет. Ответ: \( 0 \).

1) Рассмотрим две функции: \( f(x) = |x + 1| — |x| \) и \( g(x) = \sqrt{x^4 + 1} \). Мы будем анализировать их поведение на различных интервалах числовой оси, чтобы найти точки, где они равны.

2) Если \( x < -1 \), то \( x + 1 < 0 \) и \( x < 0 \), поэтому \( |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1 \) и \( |x| = -x \). Тогда \( f(x) = (-x - 1) - (-x) = -x - 1 + x = -1 \). Таким образом, на этом интервале левая часть уравнения равна константе \( -1 \). 3) Если \( -1 \leq x < 0 \), то \( x + 1 \geq 0 \) и \( x < 0 \), поэтому \( |x + 1| = x + 1 \) и \( |x| = -x \). Тогда \( f(x) = (x + 1) - (-x) = x + 1 + x = 2x + 1 \). На этом интервале функция линейно возрастает. 4) Если \( x \geq 0 \), то \( x + 1 > 0 \) и \( x \geq 0 \), поэтому \( |x + 1| = x + 1 \) и \( |x| = x \). Тогда \( f(x) = (x + 1) — x = 1 \). На этом интервале левая часть уравнения равна константе \( 1 \).

5) Теперь рассмотрим правую часть уравнения \( g(x) = \sqrt{x^4 + 1} \). Поскольку \( x^4 \geq 0 \) для всех \( x \), то \( x^4 + 1 \geq 1 \), а значит, \( \sqrt{x^4 + 1} \geq 1 \). Минимальное значение достигается при \( x = 0 \), где \( g(0) = \sqrt{0^4 + 1} = 1 \). Функция симметрична относительно оси \( y \), так как \( x^4 \) — четная функция.

6) Для данных функций имеем: минимальное значение \( g(x) = \sqrt{x^4 + 1} \) равно \( 1 \), а максимальное значение \( f(x) = |x + 1| — |x| \) также равно \( 1 \) (при \( x \geq 0 \)). Значит, равенство возможно только в точках, где обе функции принимают значение \( 1 \).

7) Проверим точку \( x = 0 \): \( f(0) = |0 + 1| — |0| = 1 — 0 = 1 \), а \( g(0) = \sqrt{0^4 + 1} = \sqrt{1} = 1 \). Значит, \( f(0) = g(0) = 1 \), и \( x = 0 \) является решением уравнения. На интервале \( x > 0 \) \( f(x) = 1 \), а \( g(x) = \sqrt{x^4 + 1} > 1 \), так как \( x^4 > 0 \), следовательно, других решений нет. На интервале \( -1 \leq x < 0 \) \( f(x) = 2x + 1 < 1 \), а \( g(x) \geq 1 \), так что равенства быть не может. На интервале \( x < -1 \) \( f(x) = -1 \), а \( g(x) > 1 \), что также не дает равенства.

Ответ: \( 0 \).