ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений (не указано в тексте, предполагается наличие системы).

Система уравнений: \(x^7 — y = y^7 — x\) и \(x^2 + xy + y^2 = 12\).

1. Из первого уравнения: \(x^7 + x = y^7 + y\). Функция \(h(t) = t^7 + t\) монотонно возрастает, значит \(h(x) = h(y)\) только при \(x = y\).
2. Подставим \(y = x\) во второе уравнение: \(x^2 + x \cdot x + x^2 = 3x^2 = 12\), откуда \(x^2 = 4\), то есть \(x = 2\) или \(x = -2\).
3. Поскольку \(y = x\), получаем пары: \((2, 2)\) и \((-2, -2)\).

Ответ: \((2, 2)\), \((-2, -2)\).

1) Первое уравнение системы имеет вид \(x^7 — y = y^7 — x\). Преобразуем его, перенося все члены в одну сторону: \(x^7 + x = y^7 + y\). Таким образом, мы получили выражение, которое связывает \(x\) и \(y\) через функции, зависящие только от одной переменной.

2) Рассмотрим функции \(f(t) = t^7\), \(g(t) = t\) и их сумму \(h(t) = t^7 + t\). Функция \(f(t) = t^7\) является возрастающей для всех \(t\), так как её производная \(f'(t) = 7t^6\) всегда неотрицательна. Функция \(g(t) = t\) также возрастает, поскольку её производная \(g'(t) = 1 > 0\). Следовательно, их сумма \(h(t) = t^7 + t\) тоже монотонно возрастает, так как производная \(h'(t) = 7t^6 + 1 > 0\) для всех \(t\).

3) Поскольку функция \(h(t)\) монотонно возрастает, равенство \(h(x) = h(y)\) выполняется только при \(x = y\). Это следует из определения монотонной функции: если \(h(a) = h(b)\), то \(a = b\). Таким образом, из уравнения \(x^7 + x = y^7 + y\) заключаем, что \(x = y\).

4) Теперь обратимся ко второму уравнению системы: \(x^2 + xy + y^2 = 12\). Учитывая, что \(x = y\), подставим \(y = x\) в это уравнение. Получаем: \(x^2 + x \cdot x + x^2 = 3x^2 = 12\). Решаем уравнение \(3x^2 = 12\), откуда \(x^2 = 4\). Это даёт два возможных значения: \(x = 2\) или \(x = -2\). Поскольку \(y = x\), соответственно \(y = 2\) или \(y = -2\).

5) Таким образом, решениями системы являются пары \((x, y) = (2, 2)\) и \((x, y) = (-2, -2)\). Проверим их в обоих уравнениях. Для \((2, 2)\): первое уравнение \(2^7 — 2 = 128 — 2 = 126\) и \(2^7 — 2 = 126\), равенство выполняется; второе уравнение \(2^2 + 2 \cdot 2 + 2^2 = 4 + 4 + 4 = 12\), тоже выполняется. Для \((-2, -2)\): первое уравнение \((-2)^7 — (-2) = -128 + 2 = -126\) и \((-2)^7 — (-2) = -126\), равенство выполняется; второе уравнение \((-2)^2 + (-2) \cdot (-2) + (-2)^2 = 4 + 4 + 4 = 12\), тоже выполняется.

Ответ: \((2, 2)\); \((-2, -2)\).