ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
\( [x] — y = y^7 — x \),
\( x^2 + xy + y^2 = 12 \);
\( x — \sqrt{y} = y^4 — \sqrt{x} \),
\( x^2 + y^2 = 2 \);
\( x + y + (x + y)^4 = 3 \),
\( x^2 + y^2 = 1 \).

1. Для системы \( x — y = y^7 — x \) и \( x^2 + xy + y^2 = 12 \):
Перепишем первое уравнение как \( 2x = y + y^7 \). Подставим \( y = 2x — y^7 \) во второе уравнение, но проще заметить, что при \( y = 0 \), \( x = 0 \), однако это не удовлетворяет второе уравнение. Тестируем \( y = 1 \), тогда \( x = \frac{1 + 1^7}{2} = 1 \), и \( 1^2 + 1\cdot1 + 1^2 = 3 \neq 12 \). После проверки малых значений и анализа роста \( y^7 \), решений в целых числах не найдено. Ответ: нет очевидных решений.

2. Для системы \( x — \sqrt{y} = y^4 — \sqrt{x} \) и \( x^2 + y^2 = 2 \):
Предположим \( x = y \), тогда из второго уравнения \( 2x^2 = 2 \), \( x^2 = 1 \), \( x = 1 \), \( y = 1 \). Проверяем первое уравнение: \( 1 — \sqrt{1} = 1^4 — \sqrt{1} \), \( 0 = 0 \), подходит. Ответ: \( (1, 1) \).

3. Для системы \( x + y + (x + y)^4 = 3 \) и \( x^2 + y^2 = 1 \):
Пусть \( s = x + y \), тогда первое уравнение \( s + s^4 = 3 \). Решаем \( s^4 + s — 3 = 0 \). Тестируем \( s = 1 \): \( 1 + 1 — 3 = -1 \), \( s = 2 \): \( 16 + 2 — 3 = 15 \), корень между 1 и 2, но \( s^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 1 + 2xy \), а \( s^4 \) растет быстро, точное решение требует численных методов. Ответ: приближенно \( s \approx 1.13 \), но точных пар нет.

1. Рассмотрим первую систему уравнений: \( x — y = y^7 — x \) и \( x^2 + xy + y^2 = 12 \). Начнем с упрощения первого уравнения. Перенесем все члены в одну сторону: \( x — y — y^7 + x = 0 \), что дает \( 2x — y — y^7 = 0 \), или \( 2x = y + y^7 \). Таким образом, \( x = \frac{y + y^7}{2} \). Это выражение показывает, что \( x \) сильно зависит от \( y \), особенно из-за члена \( y^7 \), который быстро растет при увеличении \( y \).

Теперь подставим это выражение для \( x \) во второе уравнение: \( x^2 + xy + y^2 = 12 \). Получаем \( \left(\frac{y + y^7}{2}\right)^2 + \left(\frac{y + y^7}{2}\right)y + y^2 = 12 \). Вычислим каждый член: первый член \( \left(\frac{y + y^7}{2}\right)^2 = \frac{(y + y^7)^2}{4} = \frac{y^2 + 2y^8 + y^{14}}{4} \), второй член \( \left(\frac{y + y^7}{2}\right)y = \frac{y^2 + y^8}{2} \), третий член \( y^2 \). Сложим их и приравняем к 12. Умножим все на 4, чтобы избавиться от знаменателей: \( y^2 + 2y^8 + y^{14} + 2y^2 + 2y^8 + 4y^2 = 48 \), что упрощается до \( y^{14} + 4y^8 + 7y^2 — 48 = 0 \). Это уравнение сложное для аналитического решения из-за высоких степеней.

Попробуем найти решения, подставляя небольшие значения \( y \). Если \( y = 0 \), то \( x = 0 \), и \( 0 + 0 + 0 = 0 \neq 12 \). Если \( y = 1 \), то \( x = \frac{1 + 1^7}{2} = 1 \), и \( 1^2 + 1\cdot1 + 1^2 = 3 \neq 12 \). Если \( y = 2 \), то \( x = \frac{2 + 2^7}{2} = \frac{2 + 128}{2} = 65 \), и \( 65^2 + 65\cdot2 + 2^2 = 4225 + 130 + 4 = 4359 \neq 12 \), что слишком большое значение. Если \( y = -1 \), то \( x = \frac{-1 + (-1)^7}{2} = \frac{-1 — 1}{2} = -1 \), и \( (-1)^2 + (-1)(-1) + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 12 \). Поскольку \( y^7 \) растет быстрее, чем квадратичные члены, решений в целых числах, скорее всего, нет. Ответ: нет очевидных решений.

2. Рассмотрим вторую систему уравнений: \( x — \sqrt{y} = y^4 — \sqrt{x} \) и \( x^2 + y^2 = 2 \). Эта система выглядит сложной из-за корней и степени 4, но попробуем найти симметричные решения, предположив \( x = y \). Если \( x = y \), то из второго уравнения \( x^2 + x^2 = 2 \), или \( 2x^2 = 2 \), откуда \( x^2 = 1 \), следовательно \( x = 1 \) или \( x = -1 \). Поскольку в первом уравнении есть корни \( \sqrt{y} \) и \( \sqrt{x} \), которые определены только для неотрицательных значений, возьмем \( x = 1 \), \( y = 1 \).

Проверим первое уравнение: \( 1 — \sqrt{1} = 1^4 — \sqrt{1} \), или \( 1 — 1 = 1 — 1 \), что равно \( 0 = 0 \). Это удовлетворяет уравнению. Теперь проверим, нет ли других решений. Если \( x \neq y \), то первое уравнение можно переписать как \( x + \sqrt{x} = y^4 + \sqrt{y} \). Определим функцию \( h(t) = t^4 + \sqrt{t} \), которая монотонно возрастает для \( t \geq 0 \), так как \( t^4 \) и \( \sqrt{t} \) возрастают. Аналогично, \( g(t) = t + \sqrt{t} \) тоже возрастает. Таким образом, \( g(x) = h(y) \) подразумевает \( x = y \), если функции строго монотонны. Учитывая второе уравнение \( x^2 + y^2 = 2 \), единственное решение в области \( x, y \geq 0 \) — это \( x = 1 \), \( y = 1 \). Ответ: \( (1, 1) \).

3. Рассмотрим третью систему уравнений: \( x + y + (x + y)^4 = 3 \) и \( x^2 + y^2 = 1 \). Введем обозначение \( s = x + y \), тогда первое уравнение принимает вид \( s + s^4 = 3 \), или \( s^4 + s — 3 = 0 \). Это уравнение четвертой степени, попробуем оценить корень. Если \( s = 1 \), то \( 1 + 1 — 3 = -1 \), если \( s = 2 \), то \( 16 + 2 — 3 = 15 \), значит корень находится между 1 и 2. Попробуем \( s = 1.2 \): \( (1.2)^4 = 2.0736 \), \( 2.0736 + 1.2 — 3 = 0.2736 \), все еще больше 0. Если \( s = 1.1 \): \( (1.1)^4 = 1.4641 \), \( 1.4641 + 1.1 — 3 = -0.4359 \), меньше 0. Корень примерно \( s \approx 1.13 \).

Теперь из второго уравнения \( x^2 + y^2 = 1 \), а также \( x + y = s \), выразим \( y = s — x \), подставим: \( x^2 + (s — x)^2 = 1 \), или \( x^2 + s^2 — 2sx + x^2 = 1 \), \( 2x^2 — 2sx + s^2 — 1 = 0 \). Это квадратное уравнение по \( x \): дискриминант \( d = (2s)^2 — 8(s^2 — 1) = 4s^2 — 8s^2 + 8 = 8 — 4s^2 \). Для \( s \approx 1.13 \), \( s^2 \approx 1.2769 \), \( d = 8 — 4 \cdot 1.2769 \approx 8 — 5.1076 = 2.8924 > 0 \), корни существуют, но точное значение \( s \) не позволяет получить простые числа для \( x \) и \( y \). Ответ: нет точных решений в рациональных числах, приближенно \( x + y \approx 1.13 \).