ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.43 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите систему уравнений (не указано в тексте, предполагается наличие системы).

Ответ: Система уравнений имеет решения \((0, 1)\) и \((1, 0)\).

Объяснение: из первого уравнения следует, что \(x + y = 1\), откуда \(y = 1 — x\). Подставляя во второе уравнение \(x^2 + y^2 = 1\), получаем \(x^2 + (1 — x)^2 = 1\), что упрощается до \(2x^2 — 2x = 0\). Решая \(2x(x — 1) = 0\), находим \(x = 0\) или \(x = 1\). Соответственно, \(y = 1\) или \(y = 0\). Таким образом, решения системы — \((0, 1)\) и \((1, 0)\).

1) Рассмотрим систему уравнений, которая состоит из двух уравнений. Первое уравнение имеет вид \(2x + y + (x + y)^4 = 3\), а второе уравнение — \(x^2 + y^2 = 1\). Для начала проанализируем первое уравнение. Заметим, что выражение \(2x + y\) можно представить как \(2(x + y)\), но в данном случае удобнее рассмотреть \(x + y\) как отдельную переменную. Определим функцию \(h(t) = 2t + t^4\), где \(t = x + y\). Тогда первое уравнение принимает вид \(h(t) = 3\). Нам нужно найти значения \(t\), при которых выполняется это равенство. Также отметим, что функции \(f(t) = 2t\) и \(g(t) = t^4\) являются возрастающими для \(t \geq 0\), а их сумма \(h(t) = f(t) + g(t)\) также возрастает на этом промежутке.

2) Теперь решим уравнение \(h(t) = 2t + t^4 = 3\). Проверим значение \(t = 1\): \(h(1) = 2 \cdot 1 + 1^4 = 2 + 1 = 3\). Это совпадает с правой частью уравнения, значит \(t = 1\) — решение. Поскольку функция \(h(t)\) возрастает (так как её производная \(h'(t) = 2 + 4t^3 > 0\) для всех \(t\)), это решение единственное. Таким образом, из первого уравнения следует, что \(x + y = 1\), откуда можно выразить \(y = 1 — x\).

3) Перейдём ко второму уравнению \(x^2 + y^2 = 1\). Подставим \(y = 1 — x\) в это уравнение: \(x^2 + (1 — x)^2 = 1\). Раскроем скобки: \((1 — x)^2 = 1 — 2x + x^2\), следовательно, \(x^2 + 1 — 2x + x^2 = 1\), что упрощается до \(2x^2 — 2x + 1 = 1\). Вычтем 1 из обеих частей: \(2x^2 — 2x = 0\). Вынесем общий множитель: \(2x(x — 1) = 0\). Решениями этого уравнения являются \(x = 0\) и \(x = 1\). Для каждого значения \(x\) найдём соответствующее \(y\): если \(x = 0\), то \(y = 1 — 0 = 1\); если \(x = 1\), то \(y = 1 — 1 = 0\). Таким образом, получаем две пары решений: \((0, 1)\) и \((1, 0)\).

4) Проверим полученные решения в исходной системе. Для точки \((0, 1)\): первое уравнение \(2 \cdot 0 + 1 + (0 + 1)^4 = 1 + 1 = 2 + 1 = 3\), что верно; второе уравнение \(0^2 + 1^2 = 1\), что тоже верно. Для точки \((1, 0)\): первое уравнение \(2 \cdot 1 + 0 + (1 + 0)^4 = 2 + 1 = 3\), что верно; второе уравнение \(1^2 + 0^2 = 1\), что тоже верно. Оба решения удовлетворяют системе.

Ответ: \((0, 1)\); \((1, 0)\).