ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.44 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при всех \( x \in [1; 2] \), \( y \in [1; 2] \) выполняется неравенство \( 3(x + y) > 2xy + 4 \).

Для доказательства неравенства \( 3(x + y) > 2xy + 4 \) при \( x \in [1; 2] \), \( y \in [1; 2] \) рассмотрим разность левой и правой частей: \( f(x, y) = 3(x + y) — (2xy + 4) = 3x + 3y — 2xy — 4 \). Перепишем как функцию от \( x \): \( f(x) = (3 — 2y)x + (3y — 4) \). На отрезке \( x \in [1; 2] \) минимальное значение \( f(x) \) достигается на концах отрезка. При \( x = 1 \): \( f(1) = 3 — 2y + 3y — 4 = y — 1 \geq 0 \), так как \( y \geq 1 \). При \( x = 2 \): \( f(2) = 2(3 — 2y) + 3y — 4 = 6 — 4y + 3y — 4 = 2 — y \geq 0 \), так как \( y \leq 2 \). Таким образом, \( f(x, y) \geq 0 \), что доказывает неравенство.

1) Рассмотрим неравенство \( 3(x + y) \geq 2xy + 4 \), которое нужно доказать для всех \( x \in [1; 2] \), \( y \in [1; 2] \). Для этого составим разность между левой и правой частями выражения, чтобы показать, что она неотрицательна. Определим функцию \( f(x, y) = 3(x + y) — (2xy + 4) \). Упростим это выражение: \( f(x, y) = 3x + 3y — 2xy — 4 \). Перегруппируем слагаемые, чтобы представить функцию как линейную по \( x \): \( f(x, y) = (3 — 2y)x + (3y — 4) \). Теперь наша цель — показать, что \( f(x, y) \geq 0 \) для всех указанных значений \( x \) и \( y \).

2) Поскольку \( f(x, y) \) является линейной функцией по \( x \) при фиксированном \( y \), ее минимальное значение на отрезке \( x \in [1; 2] \) достигается на одном из концов этого отрезка, то есть при \( x = 1 \) или \( x = 2 \). Рассмотрим значения функции в этих точках. Сначала при \( x = 1 \): \( f(1, y) = (3 — 2y) \cdot 1 + (3y — 4) = 3 — 2y + 3y — 4 = y — 1 \). Так как \( y \in [1; 2] \), то \( y — 1 \geq 1 — 1 = 0 \), следовательно, \( f(1, y) \geq 0 \). Теперь при \( x = 2 \): \( f(2, y) = (3 — 2y) \cdot 2 + (3y — 4) = 6 — 4y + 3y — 4 = 2 — y \). Учитывая, что \( y \leq 2 \), получаем \( 2 — y \geq 2 — 2 = 0 \), то есть \( f(2, y) \geq 0 \).

3) Итак, на концах отрезка \( x \in [1; 2] \) функция \( f(x, y) \) принимает неотрицательные значения для всех \( y \in [1; 2] \). Поскольку функция линейна по \( x \), на всем отрезке \( x \in [1; 2] \) минимальное значение \( f(x, y) \) будет не меньше нуля. Следовательно, \( f(x, y) \geq 0 \), что эквивалентно исходному неравенству \( 3(x + y) \geq 2xy + 4 \). Это и требовалось доказать.