ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.45 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при всех \( a \in [0; 1] \), \( b \in [0; 1] \), \( c \in [0; 1] \) выполняется неравенство \( abc + 2 > a + b + c \).

Для доказательства неравенства \( abc + 2 \geq a + b + c \) при \( a, b, c \in [0; 1] \) рассмотрим функцию \( f(a) = abc + 2 — a — b — c \). Перепишем её как \( f(a) = a(bc — 1) + (2 — b — c) \). Поскольку \( bc — 1 \leq 0 \) (так как \( bc \leq 1 \)), функция \( f(a) \) убывает на отрезке \( [0; 1] \). Поэтому минимальное значение достигается при \( a = 1 \): \( f(1) = bc — 1 + 2 — b — c = (b-1)(c-1) \geq 0 \), так как \( b-1 \leq 0 \) и \( c-1 \leq 0 \). Значит, \( f(a) \geq 0 \), что и требовалось доказать.

1) Нам нужно доказать, что при всех \( a \in [0; 1] \), \( b \in [0; 1] \), \( c \in [0; 1] \) выполняется неравенство \( abc + 2 \geq a + b + c \). Для этого рассмотрим разность между левой и правой частями данного неравенства, чтобы показать, что она неотрицательна на заданном отрезке.

2) Определим функцию \( f(a) = (abc + 2) — (a + b + c) \). Преобразуем выражение: \( f(a) = abc + 2 — a — b — c \). Перепишем это как линейную функцию относительно \( a \): \( f(a) = a(bc — 1) + (2 — b — c) \). Теперь наша цель — показать, что \( f(a) \geq 0 \) для всех \( a, b, c \in [0; 1] \).

3) Поскольку \( b, c \in [0; 1] \), то \( bc \leq 1 \), а значит, коэффициент при \( a \), то есть \( bc — 1 \leq 0 \). Это указывает на то, что функция \( f(a) \) является убывающей по \( a \) на отрезке \( [0; 1] \). Следовательно, минимальное значение функции \( f(a) \) на этом отрезке достигается при \( a = 1 \), а максимальное — при \( a = 0 \).

4) Вычислим значение функции в крайних точках отрезка \( [0; 1] \). Сначала при \( a = 0 \): \( f(0) = 0 \cdot (bc — 1) + (2 — b — c) = 2 — b — c \). Так как \( b, c \in [0; 1] \), то \( b + c \leq 2 \), следовательно, \( 2 — b — c \geq 0 \). Таким образом, \( f(0) \geq 0 \).

5) Теперь вычислим значение функции при \( a = 1 \): \( f(1) = 1 \cdot (bc — 1) + (2 — b — c) = bc — 1 + 2 — b — c = bc — b — c + 1 \). Перегруппируем выражение: \( f(1) = (bc — c) + (-b + 1) = c(b — 1) + (1 — b) = (1 — b)(1 — c) \). Поскольку \( b, c \in [0; 1] \), то \( 1 — b \geq 0 \) и \( 1 — c \geq 0 \), а значит, их произведение \( (1 — b)(1 — c) \geq 0 \). Таким образом, \( f(1) \geq 0 \).

6) Так как функция \( f(a) \) линейна и убывает на отрезке \( [0; 1] \), а её значения в крайних точках \( a = 0 \) и \( a = 1 \) неотрицательны, то на всём отрезке \( [0; 1] \) выполняется \( f(a) \geq 0 \). Это означает, что разность между левой и правой частями исходного неравенства неотрицательна, то есть \( abc + 2 — a — b — c \geq 0 \).

7) Следовательно, неравенство \( abc + 2 \geq a + b + c \) выполняется для всех \( a, b, c \in [0; 1] \), что и требовалось доказать.