ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.46 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение \( (6 + 6 + x) = x \).

Решим уравнение \( \sqrt{6 + \sqrt{6 + x}} = x \). Возведем обе стороны в квадрат дважды: сначала \( 6 + \sqrt{6 + x} = x^2 \), затем \( 6 + x = (x^2 — 6)^2 \), что приводит к \( x^4 — 12x^2 — x + 30 = 0 \). Возможные корни \( x = 3 \) и \( x = -2 \). Проверка показывает, что \( x = 3 \) удовлетворяет уравнению, а \( x = -2 \) нет. Учитывая область определения \( x \geq -6 \) и условие \( x \geq 0 \), решение только одно.

Ответ: 3.

1) Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{6 + x} \), которая определена при \( 6 + x \geq 0 \), то есть при \( x \geq -6 \). Эта функция возрастает на области определения, так как производная \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{6 + x}} > 0 \) при \( x > -6 \). Составим выражение для \( f(f(x)) \): \( f(f(x)) = f(\sqrt{6 + x}) = \sqrt{6 + \sqrt{6 + x}} \).

2) Теперь решим уравнение \( f(f(x)) = x \), что означает \( \sqrt{6 + \sqrt{6 + x}} = x \). Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня: \( 6 + \sqrt{6 + x} = x^2 \). Затем изолируем оставшийся корень: \( \sqrt{6 + x} = x^2 — 6 \). Возведем обе стороны в квадрат еще раз: \( 6 + x = (x^2 — 6)^2 \), что раскрывается как \( 6 + x = x^4 — 12x^2 + 36 \). Приведем все члены в одну сторону: \( x^4 — 12x^2 — x + 30 = 0 \). Это уравнение четвертой степени, и его решения можно найти, разложив на множители или численно. Возможные корни: \( x = 3 \) и \( x = -2 \). Подставим их в исходное уравнение. Для \( x = 3 \): \( \sqrt{6 + \sqrt{6 + 3}} = \sqrt{6 + \sqrt{9}} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3 \), что совпадает с правой частью. Для \( x = -2 \): \( \sqrt{6 + \sqrt{6 — 2}} = \sqrt{6 + \sqrt{4}} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} \approx 2.828 \), что не равно \(-2\). Таким образом, \( x = -2 \) не является решением.

3) Учитываем область определения функции. Поскольку \( f(x) = \sqrt{6 + x} \), то \( x \geq -6 \), а также \( f(f(x)) = \sqrt{6 + \sqrt{6 + x}} \) требует \( 6 + x \geq 0 \) и \( x \geq 0 \) (так как правая часть уравнения \( x \) должна быть неотрицательной для равенства с корнем). Таким образом, решение \( x = 3 \) удовлетворяет всем условиям, а \( x = -2 \) не подходит.

Ответ: 3.