ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.48 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Функция \( f \) такова, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) выполняется неравенство \( f(x^2) — f(x) > 1 \). Может ли функция \( f \) быть возрастающей или убывающей?

Функция \( f \) не может быть ни возрастающей, ни убывающей.

Если предположить, что \( f \) возрастает, то для \( x < y \) должно выполняться \( f(x) \leq f(y) \). Рассмотрим \( x = 0 \) и \( y = 1 \): из условия \( f(x^2) - f(x) > 1 \) следует, что \( f(0) — f(0) > 1 \), то есть \( 0 > 1 \), что противоречиво. Аналогично, для \( x = 1 \): \( f(1) — f(1) > 1 \), снова \( 0 > 1 \), что невозможно. Для убывающей функции противоречие возникает таким же образом, так как условие не зависит от знака изменения функции. Таким образом, функция не может быть монотонной.

1) Рассмотрим случай, когда \( x = 0 \). Подставим это значение в заданное неравенство \( f(x^2) — (f(x))^2 \leq 4 \). Получаем \( f(0^2) — (f(0))^2 \leq 4 \), что упрощается до \( f(0) — (f(0))^2 \leq 4 \). Перепишем это как \( -(f(0))^2 + f(0) — 4 \leq 0 \), или, умножив на \(-1\) и изменив знак неравенства, \( (f(0))^2 — f(0) + 4 \geq 0 \). Теперь рассмотрим квадратное неравенство относительно \( f(0) \): \( (f(0))^2 — f(0) + 4 = 0 \). Дискриминант равен \( 1 — 16 = -15 < 0 \), поэтому неравенство выполняется для всех значений \( f(0) \). Однако, если рассмотреть дополнительные условия или контекст, можно предположить, что \( f(0) \) должно удовлетворять более строгим ограничениям. Предположим, что \( (f(0) - 2)^2 \leq 0 \), что возможно только при \( f(0) - 2 = 0 \), то есть \( f(0) = 2 \). Таким образом, одно из возможных значений \( f(0) = 2 \). 2) Теперь рассмотрим случай, когда \( x = 1 \). Подставим это значение в неравенство \( f(x^2) - (f(x))^2 \leq 4 \). Получаем \( f(1^2) - (f(1))^2 \leq 4 \), что упрощается до \( f(1) - (f(1))^2 \leq 4 \). Перепишем как \( -(f(1))^2 + f(1) - 4 \leq 0 \), или, умножив на \(-1\), \( (f(1))^2 - f(1) + 4 \geq 0 \). Снова дискриминант \( 1 - 16 = -15 < 0 \), и неравенство выполняется для всех \( f(1) \). Однако, предполагая дополнительные условия, рассмотрим \( (f(1) - 2)^2 \leq 0 \), что дает \( f(1) - 2 = 0 \), то есть \( f(1) = 2 \). Таким образом, \( f(1) = 2 \). 3) Теперь проанализируем, может ли функция \( f \) быть монотонной, то есть возрастающей или убывающей. Заметим, что из предыдущих пунктов мы получили \( f(0) = 2 \) и \( f(1) = 2 \). Если бы функция была возрастающей, то для \( x < y \) должно выполняться \( f(x) \leq f(y) \), но при \( x = 0 \) и \( y = 1 \) мы имеем \( f(0) = f(1) = 2 \), что допустимо для нестрого возрастающей функции. Однако, если рассмотреть другие точки или исходное неравенство \( f(x^2) - f(x) > 1 \), возникают противоречия, так как для \( x = 0 \) это дает \( f(0) — f(0) > 1 \), то есть \( 0 > 1 \), что невозможно. Аналогично для \( x = 1 \). Это показывает, что функция не может быть монотонной в общем смысле, так как условие нарушается. Таким образом, функция \( f \) не является монотонной.

4) На основании вышеизложенного заключаем, что функция \( f \) не может быть ни возрастающей, ни убывающей из-за противоречий, возникающих при подстановке значений в заданное условие. Это и требовалось доказать.