ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.49 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все пары чисел \( (x; y) \), удовлетворяющие уравнению \( \sqrt{x^2 — 4x} + \sqrt{y — 2} = 0 \).athbb{R} \) выполняется неравенство \( f(x^2) — f(x) > 1 \). Может ли функция \( f \) быть возрастающей или убывающей?

Для уравнения \( \sqrt{x^2 — 4x} + \sqrt{y — 2} = 0 \) необходимо, чтобы оба корня были неотрицательными, а их сумма равнялась нулю. Это возможно только если каждый корень равен нулю. Таким образом, решаем: \( \sqrt{x^2 — 4x} = 0 \), откуда \( x^2 — 4x = 0 \), то есть \( x(x — 4) = 0 \), и получаем \( x = 0 \) или \( x = 4 \). Далее, \( \sqrt{y — 2} = 0 \), откуда \( y — 2 = 0 \), то есть \( y = 2 \). Ответ: пары \( (0; 2) \) и \( (4; 2) \).

Для решения уравнения \( \sqrt{x^2 — 4x} + \sqrt{y — 2} = 0 \) необходимо найти все пары чисел \( (x; y) \), которые его удовлетворяют. Рассмотрим процесс решения пошагово, чтобы учесть все условия и ограничения, связанные с наличием квадратных корней.

Сначала отметим, что в уравнении присутствуют выражения под знаком квадратного корня, а именно \( \sqrt{x^2 — 4x} \) и \( \sqrt{y — 2} \). Поскольку квадратный корень определен только для неотрицательных чисел, подкоренные выражения должны быть больше или равны нулю. Кроме того, сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, нам нужно решить систему условий, при которых оба корня равны нулю.

Рассмотрим первое условие для выражения \( \sqrt{x^2 — 4x} \). Чтобы корень был равен нулю, подкоренное выражение должно быть равно нулю, то есть \( x^2 — 4x = 0 \). Преобразуем это уравнение: \( x(x — 4) = 0 \). Решая его, получаем два значения: \( x = 0 \) или \( x = 4 \). Также проверим, что подкоренное выражение неотрицательно для этих значений, но поскольку мы приравняли его к нулю, это условие уже выполняется.

Перейдем ко второму условию для выражения \( \sqrt{y — 2} \). Аналогично, чтобы корень был равен нулю, подкоренное выражение должно быть равно нулю, то есть \( y — 2 = 0 \). Отсюда следует, что \( y = 2 \). Условие неотрицательности подкоренного выражения также выполняется, так как \( y — 2 = 0 \).

Теперь, поскольку оба корня должны быть равны нулю одновременно, мы комбинируем полученные значения. Для \( x = 0 \) имеем \( y = 2 \), что дает пару \( (0; 2) \). Для \( x = 4 \) также имеем \( y = 2 \), что дает пару \( (4; 2) \). Других значений \( x \) или \( y \), удовлетворяющих исходному уравнению, нет, так как любое отклонение от нуля одного из корней потребовало бы отрицательного значения другого корня, что невозможно.

Проверим полученные пары в исходном уравнении. Для пары \( (0; 2) \): \( \sqrt{0^2 — 4 \cdot 0} + \sqrt{2 — 2} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0 + 0 = 0 \), что верно. Для пары \( (4; 2) \): \( \sqrt{4^2 — 4 \cdot 4} + \sqrt{2 — 2} = \sqrt{16 — 16} + \sqrt{0} = \sqrt{0} + 0 = 0 + 0 = 0 \), что также верно.

Таким образом, все пары чисел \( (x; y) \), удовлетворяющие уравнению \( \sqrt{x^2 — 4x} + \sqrt{y — 2} = 0 \), это \( (0; 2) \) и \( (4; 2) \).