ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите промежутки возрастания функции \( y = \{x\} \).

Функция \( y = \{x\} \) представляет собой дробную часть числа \( x \), которая принимает значения в интервале \( [0, 1) \). Она возрастает на каждом интервале между последовательными целыми числами, так как в пределах \( [k, k+1) \) значение \( \{x\} \) увеличивается от 0 до 1. Таким образом, промежутки возрастания функции — это \( [k, k+1) \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

2.5. Функция \( y = \{x\} \) определяет дробную часть числа \( x \). Дробная часть числа — это значение, которое получается, если из числа \( x \) вычесть его целую часть. Таким образом, для любого действительного числа \( x \) выполняется равенство \( x = [x] + \{x\} \), где \( [x] \) — целая часть, а \( \{x\} \) — дробная часть, причем \( 0 \leq \{x\} < 1 \). Наша задача — найти промежутки, на которых эта функция возрастает.

Рассмотрим поведение функции \( y = \{x\} \) на числовой оси. Пусть \( k \) — любое целое число, принадлежащее множеству \( \mathbb{Z} \). На интервале \( [k, k+1) \) значение \( x \) изменяется от \( k \) до \( k+1 \), но не включая \( k+1 \). При этом целая часть \( [x] = k \), а дробная часть \( \{x\} = x — k \). Следовательно, на этом интервале \( \{x\} \) изменяется от \( 0 \) (при \( x = k \)) до значения, близкого к \( 1 \) (при \( x \to k+1^- \)), но не достигая \( 1 \). Таким образом, функция \( y = \{x\} \) строго возрастает на каждом таком интервале \( [k, k+1) \).

Теперь обратим внимание на точки разрыва. В момент, когда \( x \) достигает целого значения \( k+1 \), дробная часть \( \{x\} \) сбрасывается до \( 0 \), поскольку \( \{k+1\} = 0 \). Это означает, что функция испытывает разрыв в каждой целой точке, и возрастание прекращается. На интервале \( [k+1, k+2) \) функция снова начинает возрастать от \( 0 \) до почти \( 1 \). Таким образом, возрастание происходит только внутри каждого интервала \( [k, k+1) \), и за пределами этих интервалов функция не возрастает из-за разрывов.

Проанализируем, может ли функция возрастать на объединении нескольких интервалов или на более широких участках. Поскольку в точках \( x = k \) (где \( k \in \mathbb{Z} \)) функция сбрасывается до \( 0 \), невозможно построить непрерывный промежуток возрастания, который бы пересекал целые значения. Следовательно, промежутки возрастания ограничены интервалами между последовательными целыми числами.

Таким образом, мы заключаем, что функция \( y = \{x\} \) возрастает на каждом интервале вида \( [k, k+1) \), где \( k \) — любое целое число, то есть \( k \in \mathbb{Z} \). Это и есть полный набор промежутков возрастания для данной функции.

Ответ: промежутки возрастания функции \( y = \{x\} \) — это \( [k, k+1) \), где \( k \in \mathbb{Z} \).